I. Tư tưởng cung lồi, cung lõm cùng điểm uốn

Cho thứ thị acb của hàm số y = f(x) như hình dưới, giả sử đồ gia dụng thị tất cả tiếp đường tại phần đa điểm.

Bạn đang xem: Tính lồi lõm của đồ thị hàm số

O A C B M N a c b > ^ x y f''(x) f''(x) > 0 với đa số x ở trong (c,b): hàm số lõm bên trên (c,b) f''(x) đổi lốt khi x đi qua c: hàm số gồm điểm uốn tại x = c

Cung lồi: Tại hầu như điểm của cung AC, tiếp tuyến luôn nằm bên trên cung, lúc ấy ta nói cung AC là 1 trong những cung lồi. Khoảng ứng vưới cung lồi AC hotline là khoảng lồi của đồ thị (với a là hoành độ điểm A, c là hoành độ điểm C)

Cung lõm: trên cung CB, mọi tiếp tuyến đều nằm dưới đồ vật thị, khi ấy CB được hotline là cung lõm và đoạn là khoảng chừng lõm của đồ thị.

Điểm uốn: điểm chuyển tiếp giữa cung lồi với cung lõm (từlồi gửi sang lõm hoặc từ lõm gửi sang lồi) gọi là điểm uốn của vật dụng thị. Điểm C là vấn đề uốn.

II. Tín hiệu và phương pháp tìm khoảng lồi, khoảng chừng lõm và điểm uốn

Định lý: mang lại hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp ba trên khoảng (a; b).

- trường hợp f''(x) (xinleft(a;b ight))thì vật thị của hàm số lồi trên khoảng chừng đó

-Nếu f''(x) >0 cùng với mọi(xinleft(a;b ight))thì thiết bị thị của hàm số lõmtrên khoảng tầm đó

- giả dụ f''(x) đổi dấu khi x đi qua(x_0)thì điểm(M_0left(x_0;fleft(x_0 ight) ight))là điểm uốn nắn của thứ thị hàm số

III.

Xem thêm: Khái Niệm Phương Pháp Dạy Học Là Gì? Phân Biệt Với Thủ Pháp Dạy Học

Ví dụ

Ví dụ 1: Tìm những khoảng lồi, lõm với điểm uốn của những đồ thị hàm số

a)(y=x^5)

b)(y=-sin x)trên đoạn(left<0;2pi ight>)

Giải:

a) Tập xác định(mathbbR), ta có:(y"=5x^4);(y""=20x^3), bảng xét dấu(y"")

x y'' Đồ thị 0 + 0 + lồi lõm Điểm uốn

Vậy vật thị hàm số lồi trên(left(-infty;0 ight)), lõm bên trên khoảng(left(0;+infty ight))và điểm (0; 0) là vấn đề uốn của đồ vật thị (xem mẫu vẽ dưới)

*

b) Ta có(y"=-cos x);(y""=sin x), bảng xét dấu(y"")trên(left(0;2pi ight))

x y'' Đồ thị 0 0 + Lõm Điểm uốn nắn 2 Lồi

Vậy hàm số(y=-sin x)lõm trên(left(0;fracpi2 ight)), lồi trên(left(fracpi2;2pi ight)). Điểm(left(fracpi2;0 ight))là điểm uốn nắn của vật dụng thị (xem đồ thị phía dưới)

*

Ví dụ 2: Tìm các khoảng lồi, lõm của đồ dùng thị(y=fracx+1x-1)

Giải: Tập xác định:(mathbbRackslashleft1 ight\)

Ta có:(y"=-frac2left(x-1 ight)^2);(y"=frac4left(x-1 ight)^3)

Bảng xét vết của y'':

x y'' Đồ thị 1 + + lồi lõm

Đồ thị hàm số lồi trên(left(-infty;1 ight))và lõm trên(left(1;+infty ight))(xem đồ gia dụng thị phía dưới)