Với phương pháp giải những dạng toán về Hàm số thường xuyên môn Toán lớp 11 Đại số với Giải tích gồm cách thức giải đưa ra tiết, bài bác tập minh họa có giải thuật và bài xích tập trường đoản cú luyện để giúp học sinh biết cách làm bài tập những dạng toán về Hàm số thường xuyên lớp 11. Mời các bạn đón xem:
Hàm số tiếp tục và biện pháp giải bài bác tập - Toán lớp 11
1. Lý thuyết
a) Hàm số tiếp tục tại một điểm
Cho hàm số y = f(x) khẳng định trên K với x0∈K.
Bạn đang xem: Tính liên tục của hàm số
- Hàm số y = f(x) liên tục tại x0 khi còn chỉ khi limx→x0f(x)=f(x0).
- Hàm số y = f(x) không tiếp tục tại x0 ta nói hàm số cách quãng tại x0.
b) Hàm số thường xuyên trên một khoảng
- Hàm số y = f(x) thường xuyên trên một khoảng tầm (a; b) giả dụ nó liên tục tại hầu như điểm x0 của khoảng tầm đó.
- Hàm số y = f(x) thường xuyên trên
c) các định lý cơ bản
Định lý 1:
- Hàm số nhiều thức liên tiếp trên cục bộ tập R.
- các hàm số nhiều thức, phân thức hữu tỉ, lượng giác liên tục trên từng khoảng xác định của chúng.
Định lý 2: cho các hàm số y = f(x) cùng y = g(x) thường xuyên tại x0. Khi đó:
- những hàm số: y = f(x) + g(x); y = f(x) - g(x); y = f(x).g(x) thường xuyên tại x0.
- Hàm số y=fxgxliên tục trên x0 nếu gx0≠0.
Định lý 3: đến hàm số y = f(x) liên tục trên
Dạng 1: Xét tính thường xuyên của hàm số tại một điểm
Loại 1: Xét tính liên tiếp của hàm số fx=f1x, khi x≠x0f2x, khi x=x0tại x = x0.
Phương pháp giải:
Bước 1: Tính f(x0) = f2(x0).
Bước 2: Tính limx→x0fx=limx→x0f1x=L.
Bước 3: giả dụ f2(x0) = L thì hàm số f(x) liên tục tại x0.
Nếu f2x0≠Lthì hàm số f(x) không tiếp tục tại x0.
(Đối với việc tìm tham số m để hàm số tiếp tục tại x0, ta thay bước 3 thành: Giải phương trình L = f2(x0), tìm m)
Ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Xét tính thường xuyên của hàm số sau tại điểm x = - 1.
fx=x2+5x+4x+1khi x≠−13khi x=−1
Lời giải
Hàm sẽ cho xác minh trên R.
Ta có: f(-1) = 3
limx→−1fx=limx→−1x2+5x+4x+1=limx→−1x+1x+4x+1=limx→−1x+4=3
Ta thấylimx→−1fx=f−1
Vậy hàm số liên tục tại x = - 1.
Ví dụ 2: mang đến hàm số: fx=x−1x−1khi x≠1m2xkhi x=1. Tra cứu m để hàm số tiếp tục tại x = 1.
Lời giải
Hàm vẫn cho xác minh trên0;+∞
Ta có
f(1) = m2.
limx→1x−1x−1=limx→11x+1=12
Để hàm số thường xuyên tại x = 1 thì limx→1fx=f1⇔m2=12⇔m=±12=±22.
Vậy m=±22.
Loại 2: Xét tính liên tiếp của hàm số fx=f1x, khi x≥x0f2x, khi xx0tại x = x0.
Phương pháp giải:
Bước 1:
Tính f(x0) = f2(x0).
Tính giới hạn trái: limx→x0−fx=limx→x0−f2x=L1
Tính số lượng giới hạn phải:limx→x0+fx=limx→x0+f1x=L2
Bước 2:
Nếu L = L1 thì hàm số liên tục bên trái trên x0.
Nếu L = L2 thì hàm số liên tiếp bên đề nghị tại x0.
Nếu L = L1 = L2 thì hàm số liên tục tại x0.
(Nếu cả 3 trường phù hợp trên không xảy ra thì hàm số không liên tục tại x0)
* Đối với việc tìm m nhằm hàm số thường xuyên tại x0 ta giải phương trình: L = L1 = L2. Search m.
Ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: đến hàm số fx=x+x+2x+1 , khi x>−1 2x+3 , khi x≤−1.
Xét tính thường xuyên của hàm số tại x = -1.
Lời giải
Ví dụ 2: mang đến hàm số: fx=x2−3x+2x−1khi x≠1mkhi x=1. Tra cứu m để hàm số liên tiếp tại x = 1
Lời giải
Dạng 2: Xét tính thường xuyên của hàm số trên một khoảng
Phương pháp giải:
Bước 1: Xét tính tiếp tục của hàm số trên các khoảng đơn
Bước 2: Xét tính thường xuyên của hàm số tại những điểm giao
Bước 3: Kết luận.
Ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: mang lại hàm số y=fx=1−x2−x−1khi x12xkhi x≥1. Xét sự liên tiếp của hàm số.
Lời giải
Hàm số xác minh và thường xuyên trên −∞;1và 1;+∞.
Xét tính thường xuyên tại x = 1
f(1) = 2.1 = 2.
limx→1fx=limx→11−x2−x−1=limx→11−x2−x+12−x−1=limx→12−x+1=2
Ta thấy limx→1fx=f1nên hàm số tiếp tục tại x = 1.
Vậy hàm số liên tục trên R.
Ví dụ 2: đến hàm số fx=3−9−xx , 0x9m , x=03x , x≥9. Tìm kiếm m để hàm số liên tục trên .
Lời giải
Với x∈0;9: fx=3−9−xxxác định và thường xuyên trên 0;9.
Với x∈9;+∞: fx=3xxác định và tiếp tục trên 9;+∞.
Với x = 9, ta cóf9=39=13=limx→9+fx
vàlimx→9−fx=limx→9−3−9−xx=3−9−99=13
Ta thấy limx→9−fx=limx→9+fx=f9nên hàm số liên tục tại x = 9.
Với x = 0 ta tất cả f(0) = m.
limx→0+fx=limx→0+3−9−xx=limx→0+32−9+xx3+9−x=limx→0+13+9−x=16
Để hàm số thường xuyên trên thì hàm số phải liên tục tại x = 0
⇒limx→0+fx=f0⇔m=16.
Vậy m=16thì hàm số thường xuyên trên 0;+∞.
Dạng 3: chứng tỏ phương trình bao gồm nghiệm
Phương pháp giải:
Sử dụng định lý: cho hàm số y = f(x) thường xuyên trên
Ví dụ 1: Phương trình: x4−3x3+x−18=0 có bao nhiêu nghiệm thuộc khoảng tầm (-1; 3).
b) Phương trình 2x+61−x3=3có bao nhiêu nghiệm.
Lời giải
a) Xét hàm số fx=x4−3x3+x−18liên tục trên <- 1; 3>.
Ta có: f−1=238; f0=−18; f12=116; f1=−98; f3=238
Ta thấy:
f(- 1).f(0) f0.f120, phương trình có tối thiểu 1 nghiệm thuộc0;12
f12.f10, phương trình có ít nhất 1 nghiệm thuộc12;1
f(1).f(3) t=1−x3⇒x=1−t3. Lúc đó phương trình vẫn cho có dạng 2t3 – 6t + 1 = 0
Xét hàm f(t) = 2t3 – 6t + 1 tiếp tục trên R
Ta gồm f(- 2) = - 3, f(0) = 1, f(1) = - 3, f(2) = 5.
Ta thấy:
f(- 2).f(0) = - 3 t1∈(−2;0). Lúc đóx1=1−t13,x1∈(1;9).
f(0).f(1) = - 3 t2∈(0;1). Lúc đóx2=1−t23,x2∈(0;1).
f(1).f(2) = - 15 t3∈(1;2). Lúc đóx3=1−t33,x3∈(−7;0).
Do đó phương trình 2t3 – 6t + 1 = 0 có tối thiểu 3 nghiệm ở trong (-2; 2).
Mà phương trình bậc 3 gồm tối nhiều 3 nghiệm
Suy ra, phương trình 2t3 – 6t + 1 = 0 gồm đúng 3 nghiệm trực thuộc (-2; 2).
Vậy phương trình 2x+61−x3=3có tối thiểu 3 nghiệm thuộc (-7; 9).
Ví dụ 2: chứng minh rằng phương trình (1 – m2)x5 – 3x – 1 = 0 luôn có nghiệm với tất cả m.
Lời giải
Xét hàm số f(x) = (1 – m2)x5 – 3x – 1
Ta có: f(0) = - 1 và f(- 1) = m2 + 1
nênf−1.f0=−m2+10,∀m∈ℝ
Mặt khác: f(x) = (1 – m2)x5 – 3x – một là hàm đa thức nên liên tiếp trên <-1; 0>
Suy ra, phương trình (1 – m2)x5 – 3x – 1 = 0 có ít nhất một nghiệm ở trong (-1; 0).
Vậy phương trình (1 – m2)x5 – 3x – 1 = 0 luôn luôn có nghiệm với mọi m.
3. Bài tập trường đoản cú luyện
Câu 1. cho hàm số f(x)=x−2x−4 khi x≠414 khi x=4.
Khẳng định nào dưới đây đúng nhất
A. Hàm số thường xuyên tại x = 4.
B. Hàm số thường xuyên tại số đông điểm trên tập xác minh nhưng cách trở tại x = 4.
C. Hàm số không tiếp tục tại x = 4.
D. tất cả đều sai.
Câu 2. đến hàm sốfx=x+x+2x+1 , khi x>−1 2x+3 , khi x≤−1
Khẳng định nào sau đây đúng nhất:
A. Hàm số liên tiếp tại x0 = -1.
B. Hàm số liên tục tại phần lớn điểm.
C. Hàm số đứt quãng tại x0 = -1.
D. tất cả đều sai.
Câu 3. cho hàm số f(x)=x+1+x−13x khi x≠02 khi x=0
Khẳng định nào tiếp sau đây đúng nhất
A. Hàm số tiếp tục tại x0 = 0.
B. Hàm số thường xuyên tại những điểm nhưng cách quãng tại x0 = 0.
C. Hàm số tiếp tục tại các điểm.
D. toàn bộ đều sai.
Câu 4. mang đến hàm số fx=x2−4. Lựa chọn câu đúng trong các câu sau:
(I) f(x) thường xuyên tại x = 2.
(II) f(x) cách trở tại x = 2.
(III) f(x) liên tiếp trên đoạn <-2; 2>.
A. Chỉ (I) với (III).
B. Chỉ (I).
C. Chỉ (II).
D. Chỉ (II) và (III).
Câu 5. mang đến hàm số f(x)=x+2x2−x−6 . Xác minh nào dưới đây đúng nhất?
A. Hàm số liên tục trên R.
B. Hàm số liên tiếp tại rất nhiều R-2; 3 với hàm số đứt quãng tại x = -2; x = 3.
C. Hàm số thường xuyên tại x = -2; x = 3.
D. toàn bộ đều sai.
Câu 6. tra cứu m để các hàm sốf(x)=x−23+2x−1x−1 khi x≠13m−2 khi x=1 liên tục trên R
A. m = 1.
B. m=139.
C. m = 2.
D. m = 0.
Câu 7. search m để các hàm sốf(x)=x+1−1x khi x>02x2+3m+1 khi x≤0 liên tục trên R.
A. m = 1.
B.m=−16.
C. m = 2.
D. m = 0.
Câu 8. đến hàm sốf(x)=x+73−3x+1x−1khi x≠1axkhi x=1
Tìm a nhằm hàm số tiếp tục tại x0 = 1.
A. −23.
B. 2.
C. −32.
D. -2.
Câu 9. đến hàm số fx=a2x2 khi x≤2,a∈ℝ2−ax2 khi x>2.
Giá trị của a nhằm f(x) tiếp tục trên R là:
A. 1 hoặc 2.
B. 1 hoặc -1.
C. -1 hoặc 2.
D. 1 hoặc -2.
Câu 10. mang lại hàm số fx=x2−3x−3 khi x≠323 khi x=3.
Tìm xác minh đúng trong các xác định sau:
(I). F(x) thường xuyên tại x=3
(II). F(x) cách trở tại x=3
(III). F(x) tiếp tục trên R
A. Chỉ (I) cùng (II).
B. Chỉ (II) cùng (III).
C. Chỉ (I) cùng (III).
D. Cả (I),(II),(III) phần đa đúng.
Câu 11. Tìm khẳng định đúng vào các xác định sau:
I. F(x) liên tiếp trên đoạn
A. Chỉ I đúng.
B. Chỉ II đúng.
C. Cả I và II đúng.
D. Cả I cùng II sai.
Câu 12. mang lại phương trình 2x4 - 5x2 + x + 1 = 0 (1) .Chọn khẳng định đúng vào các xác minh sau:
A. Phương trình (1) không có nghiệm trong tầm (-1; 1).
B. Phương trình (1) không tồn tại nghiệm trong tầm (-2; 0).
C. Phương trình (1) chỉ tất cả một nghiệm trong vòng (-2; 1).
D. Phương trình (1) có tối thiểu hai nghiệm trong vòng (0; 2).
Câu 13. Số nghiệm thực của phương trình: 2x3 - 6x + 1 = 0 thuộc khoảng (- 2; 2) là:
A. 0.
B. 1.
C. 2.
D. 3.
Câu 14. đến phương trình x3 + ax2 + bx + c = 0 (1) trong đó a, b, c là những tham số thực. Chọn xác định đúng vào các xác định sau:
A. Phương trình (1) vô nghiệm với tất cả a, b, c.
B. Phương trình (1) có ít nhất một nghiệm với đa số a, b, c.
C. Phương trình (1) có tối thiểu hai nghiệm với đa số a, b, c.
D. Phương trình (1) có ít nhất ba nghiệm với đa số a, b, c.
Xem thêm: Khái Niệm Của Từ Ghép Là Gì? Các Loại Từ Ghép Khái Niệm, Các Loại Từ Ghép Và Ví Dụ Minh Họa
Câu 15. cho hàm số f(x) = x3 - 1000x2 + 0,01. Phương trình f(x) = 0 bao gồm nghiệm thuộc khoảng chừng nào trong các khoảng sau đây?