Tính giới hạn toán cao cấp c1

BÀI 1: HÀM SỐ, GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤCThời lượng Mục tiêuTrên cơ sở những kiến thức của chương trình phổ thông, mục đích của bài này là ôn tập, hệ thống hóa và nâng cao các kỹ năng về hàm số một đổi thay số: Giới hạn, tính liên tiếp của hàm số.Bạn sẽ xem: những công thức tính giới hạn trong toán cao cấp

chỉ dẫn học • Đây là bài học nhằm mục đích ôn tập và khối hệ thống hóa lại các kiến thức toán học sẽ học trong chương trình ít nhiều nên bạn cần đọc kỹ lại các lý thuyết về hàm số....


Bạn đang xem: Tính giới hạn toán cao cấp c1


bài xích 1: Hàm số, giới hạn và liên tục BÀI 1: HÀM SỐ, GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤCThời lượng phương châm • phát âm được tư tưởng hàm số, giới hạn, sựBạn buộc phải học cùng làm bài bác tập của bài nàytrong nhì tuần, mỗi tuần khoảng tầm 3 mang đến 4 liên tụcgiờ đồng hồ. • Giải được những bài tập về hàm số, giới hạn, tính liên tục • Áp dụng phần mềm toán để tính toán với hàm số, giới hạnNội dungTrên cơ sở các kiến thức của lịch trình phổ thông, mục tiêu của bài xích này là ôn tập, hệ thốnghóa và cải thiện các kỹ năng và kiến thức về hàm số một biến hóa số: Giới hạn, tính liên tiếp củahàm số.Hướng dẫn học• Đây là bài học nhằm ôn tập và khối hệ thống hóa lại các kiến thức toán học đang học vào chương trình thêm nên bạn cần đọc kỹ lại các định hướng về hàm số, giới hạn.• sau khi đọc kỹ triết lý bạn nên làm bài xích tập càng những càng giỏi để củng núm và nâng cấp kiến thức. 1 bài 1: Hàm số, số lượng giới hạn và liên tục1.1. Hàm số một thay đổi số1.1.1. Định nghĩa hàm số một biến hóa số đến X là tập hòa hợp khác trống rỗng của R . Ta hotline ánh xạ f :X → R y = f (x) x là hàm số một trở thành số bên trên tập đúng theo X , trong số ấy x là trở thành số độc lập, y là đại lượng nhờ vào hay hàm số của x . Tập hòa hợp X call là miền xác định của hàm số f . Tập hợp f (X) = y ∈ , y = f (x) : x ∈ X điện thoại tư vấn là miền quý hiếm của f nếu như hàm số một trở thành số mang đến trong dạng biểu thức: y = f (x) nhưng mà không nói gì thêm thì ta hiểu miền khẳng định của hàm số là tập hợp phần đông giá trị thực của biến chuyển số x khiến cho biểu thức có nghĩa. Ví dụ như 1: Biểu thức y = 1 − x 2 xác định khi : 1 − x 2 ≥ 0 ⇔ x ≤ 1 ⇔ −1 ≤ x ≤ 1. Do đó miền khẳng định của hàm số y = 1 − x 2 là . Tiện lợi thấy rằng miền giá trị của hàm y là . Miền xác minh của một hàm số có thể gồm những tập nhỏ rời nhau, trên từng tập con này lại có một nguyên tắc riêng để xác định giá trị của hàm số. Hàm số hoàn toàn có thể được khẳng định bởi nhiều công thức không giống nhau tùy trực thuộc vào quý hiếm của biến. Ví dụ như 2: ⎧ x 2 + 1 lúc x ≥ 0 f (x) = ⎨ ⎩1 − 2x lúc x bài 1: Hàm số, giới hạn và tiếp tục CHÚ Ý: Đồ thị của hàm số hoàn toàn có thể là tập hợp những điểm rời rạc, cũng hoàn toàn có thể gồm một số cung tức thì Ví dụ 3: ⎧ ⎪x 2 lúc x ≤ 0 ⎪ Đồ thị của hàm số y = ⎨ x khi 0 1 ⎩2 Hình 1.1 câu hỏi vẽ phác thảo đồ thị của hàm số f với miền khẳng định là một khoảng số thực thường xuyên được xác minh theo trình từ bỏ như sau: Lấy những số x1 , x 2 ,..., x n từ miền khẳng định của hàm số (càng những điểm và các điểm càng sát nhau càng tốt). • Tính các giá trị khớp ứng của hàm số y1 = f (x1 ),..., y n = f (x n ) • xác minh các điểm • M1 = (x1 , y1 ),..., M n = (x n , y n ) • Nối các điểm đã xác định nói bên trên ta bao gồm hình ảnh phác họa của vật thị hàm số. Phương pháp vẽ như bên trên không hoàn toàn chính xác mà chỉ cho hình dáng của đồ vật thị hàm số. Đồ thị của hàm số được dùng làm minh họa Hình 1.2 các đặc trưng cơ bản, sự nhờ vào của cực hiếm của hàm số và đổi mới số. Quan sát vào đồ dùng thị rất có thể dễ dàng quan tiếp giáp xu hướng chuyển đổi của giá trị hàm số lúc biến chủ quyền thay đổi.1.1.3. Hàm số đối kháng điệu. Hàm số chẵn, lẻ, tuần hoàn1.1.3.1. Hàm số solo điệu Hàm số f (x) xác định trong khoảng tầm (a, b) • Được gọi là đối kháng điệu tăng trong tầm (a, b) nếu với tất cả x1 , x 2 ∈ (a, b), x1 bài 1: Hàm số, số lượng giới hạn và liên tục (Nếu điều kiện trên vẫn đúng vào lúc bỏ dấu đẳng thức, tức là: ∀x1 , x 2 ∈ (a, b), x1 f (x 2 ) thì ta nói hàm f giảm ngặt (hay nghịch biến) bên trên (a, b) ). Hàm số f được call là đối chọi điệu trên (a, b) ví như nó chỉ đối kháng điệu tăng hoặc chỉ đơn điệu giảm trong khoảng này. Đồ thị của hàm số tăng là 1 đường “đi lên”, trái lại đồ thị hàm số giảm là con đường “đi xuống” nếu quan sát từ trái sang phải. Hình 1.31.1.3.2. Hàm số chẵn, hàm số lẻ Hàm số f xác minh trên một tập hợp D đối xứng ( x ∈ D ⇔ − x ∈ D ) , chẳng hạn khoảng (−l, l) , đoạn , tập (−b, −a) ∪ (a, b)(0 bài 1: Hàm số, giới hạn và thường xuyên còn hàm số h(x) = x 3 , k(x) = sin x là các hàm lẻ bên trên R vì: ⎫ h(− x) = ( − x)3 = ( − x)3 = −h(x) ⎬ ∀x ∈ R k(− x) = sin( − x) = − sin x = −k(x) ⎭ Đồ thị của hàm chẵn nhấn trục Oy có tác dụng trục đối xứng, còn thứ thị hàm lẻ nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng (hình 1.4) Hàm chẵn: Hàm lẻ:1.1.3.3. Hàm số tuần trả Định nghĩa: Hàm số f được call là tuần hoàn trên miền khẳng định D (thông thường xuyên xét D ≡ R ) ví như tồn tại số thực p. ≠ 0 sao cho: ∀x ∈ D thì x ± phường ∈ D với f (x + p) = f (x). Số phường gọi là chu kỳ của hàm f . 5 bài 1: Hàm số, giới hạn và tiếp tục Nếu trong các số phường nói trên, tồn tại một vài dương nhỏ tuổi nhất – ký kết hiệu vì T – thì T được hotline là chu kỳ cơ phiên bản của f . Lấy một ví dụ 5: những hàm sin x, cos x đa số tuần hoàn với chu kỳ 2π vì: sin(x + 2π) = sin x, cos(x + 2π) = cos x ∀x ∈ R những hàm tgx,cotgx rất nhiều tuần trả với chu kỳ π vì: π tg ( x + π ) = tgx,∀x ≠ + kπ;cotg(x + π) = cotg,∀x ≠ kπ 2 hơn thế nữa các chu kỳ nói trên phần lớn là những chu kỳ cơ bản. Thật vậy, ví dụ điển hình xem xét hàm y = sin x , mang sử lâu dài số dương T bài bác 1: Hàm số, giới hạn và liên tiếp Hàm số g biến đổi x thành y theo nguyên tắc trên gọi là (hàm số) hòa hợp của hai hàm f cùng ϕ . Cam kết hiệu: g = f (ϕ(x)) . (Nhớ rằng trong bí quyết ký hiệu trên, hàm nào thua cuộc lại có ảnh hưởng tác động trước đến biến đổi x ). Lấy một ví dụ 6: Hàm số y = sin 5 x là hàm phù hợp của nhì hàm y = u 5 và u = sin x . Bí quyết nói sau cũng rất được chấp nhận: “Hàm số g(x) = sin 5 x là hàm thích hợp của nhị hàm f (x) = x 5 và ϕ(x) = sin x ”.1.1.5. Hàm số ngược Xét hàm số y = f (x) có miền xác minh X , miền giá trị Y = f (X) . Nếu như với mỗi y 0 ∈ Y tồn tại tốt nhất x 0 ∈ X để f (x 0 ) = y0 (hay phương trình f (x) = y0 tất cả nghiệm độc nhất vô nhị trong X ) thì quy tắc biến đổi mỗi số y ∈ Y thành nghiệm nhất của phương trình f (x) = y là một hàm số đi trường đoản cú Y mang đến X điện thoại tư vấn là hàm ngược của hàm f , ký hiệu f −1 f −1 (y) = x ⇔ f (x) = y. Lúc đó, dễ ợt thấy rằng f là hàm ngược của f −1 . Lấy ví dụ 7: Hàm số y = x 3 ( R → R ) bao gồm hàm ngược là hàm số x = 3 y ( R → R ) vì: • y = x3 ⇔ x = 3 y Hàm số y = a x ( a > 0, a ≠ 1) ( R → R* ) tất cả hàm ngược là hàm số x = log a y + • ( R* → R ) vì: + y = a x ⇔ x = log a x. • các hàm lượng giác quen thuộc đều sở hữu hàm ngược với 1 cách ký kết hiệu: ⎛ ⎡ π π⎤ ⎞ Hàm số y = sin x ⎜ ⎢ − , ⎥ → ⎟ gồm hàm ngược, ta cam kết hiệu hàm ngược o ⎝⎣ 2 2⎦ ⎠ đó là: ⎛ ⎡ π π⎤⎞ x = arcsin y ⎜ → ⎢ − , ⎥ ⎟ . ⎣ 2 2⎦⎠ ⎝ ( → ) Hàm số y = cos x có hàm ngược, ta ký kết hiệu hàm ngược o kia là: x = arccos y ( → ) . ⎛⎛ π π ⎞ ⎞ Hàm số y = tgx ⎜ ⎜ − , ⎟ → R ⎟ có hàm ngược, ta cam kết hiệu hàm ngược đó là: o ⎝⎝ 2 2 ⎠ ⎠ ⎛ ⎛ π π ⎞⎞ x = arctgy ⎜ → ⎜ − , ⎟ ⎟. ⎝ 2 2 ⎠⎠ ⎝ 7 bài xích 1: Hàm số, số lượng giới hạn và liên tiếp ( ( 0, π ) → R ) có hàm ngược, ta cam kết hiệu hàm ngược kia là: Hàm số y =cotgx o x = arccotgy ( → ( 0.π ) ) ( R → ( 0, π ) ) CHÚ Ý : • vì chưng thường cam kết hiệu x để chỉ biến độc lập và y nhằm chỉ biến phụ thuộc vào nên khi trình diễn hàm ngược thay do x = f −1 (y) bao gồm viết y = f −1 (x) . Chẳng hạn y = log a x là hàm ngược của hàm: y = a x • Đồ thị của nhị hàm ngược nhau không thay đổi như khi đổi vai trò x,y cho nhau thì nó đối xứng nhau qua con đường phân giác vật dụng nhất. Thiệt vậy, hotline (C) và (C’) lần lượt là đồ gia dụng thị của nhị hàm f (x) với f −1 (x) thì theo định nghĩa: M = (x, y) ∈ (C) ⇔ M " = (y, x) ∈ (C ") Hình 1.6: Hàm mũ, hàm logarit1.1.6. Những hàm số sơ cấp1.1.6.1. Các hàm số sơ cấp cho cơ bạn dạng • Hàm lũy vượt y = x α (α ∈ R) Miền xác minh (MXĐ) của hàm nhờ vào vào số α . O nếu α ≥ 0 , MXĐ là R . O nếu α nguyên âm. MXĐ là R 0 . 1 trường hợp α = , phường ∈ R* thì MXĐ là R + nếu như o phường p chẵn với R nếu p. Lẻ. Hình 1.7: Đồ thị hàm số y = x 3 nếu α vô tỷ, MXĐ được quy mong là R + . O • Hàm mũ: f (x) = a x (0 1 cùng nghịch đổi thay nếu 0 1 và nghịch biến chuyển nếu o 0 bài bác 1: Hàm số, giới hạn và tiếp tục y = cos x : tất cả MXĐ là R ,o MGT ; cho tương ứng mỗi số thực x cùng với hoành độ điểm màn biểu diễn cung x radian trên tuyến đường tròn lượng giác. Hàm cos là hàm chẵn, tuần trả với chu kỳ luân hồi cơ phiên bản 2π . Y = tgx : tất cả MXĐ lào π ⎧ ⎫ R ⎨(2k+1) , k ∈ Z ⎬ , ⎩ 2 ⎭ MGT R ; cho tương ứng mỗi số thực x cùng với tung độ của giao Hình 1.8: Quy tắc xác minh các các chất giác điểm tia OM ( M là vấn đề biểu diễn cung x radian trên tuyến đường tròn lượng giác) cùng với trục tan là con đường thẳng tất cả phương trình: x = 1 . Hàm tgx là hàm lẻ, tuần hoàn với chu kỳ luân hồi cơ bản π . Y = cotgx: bao gồm MXĐ là R kπ, k ∈ Z , MGT R ; cho tương xứng mỗi số thực xo cùng với hoành độ của giao điểm tia OM ( M là điểm biểu diễn cung x radian trên tuyến đường tròn lượng giác) cùng với trục cotg là mặt đường thẳng bao gồm phương trình y = 1 . Hàm cotgx là hàm lẻ, tuần hoàn với chu kỳ luân hồi cơ bạn dạng π . Hình 1.9: Đồ thị các hàm số lượng giác 9 bài xích 1: Hàm số, giới hạn và liên tục • lượng chất giác ngược ⎡ π π⎤ y = arcsin x : tất cả MXĐ là , MGT ⎢ − , ⎥ là hàm ngược của hàm sin. O ⎣ 2 2⎦ Hàm y = arcsin x là hàm lẻ, đồng biến. Y = arccos x : tất cả MXĐ là , MGT là hàm ngược của hàm cos. O Hàm y = arccos x là hàm nghịch biến. O ⎛ π π⎞ y = arctgx : gồm MXĐ là R , MGT ⎜ − , ⎟ là hàm ngược của hàm tg. O ⎝ 2 2⎠ Hàm y = arctgx là hàm lẻ, đồng biến. ⎛ π π⎞ y = arccotgx : tất cả MXĐ là R , MGT ⎜ − , ⎟ là hàm ngược của hàm cotgx. O ⎝ 2 2⎠ Hàm y = arccotgx là hàm lẻ, nghịch biến. Hình 1.10: Đồ thị những hàm lượng giác ngược1.1.6.2. Định nghĩa Hàm số sơ cấp là 1 trong hàm số được ra đời từ các hàm số sơ cung cấp cơ bạn dạng và hàm hằng thuộc với một số hữu hạn những phép toán số học (cộng, trừ, nhân chia) và những phép toán lấy hàm hợp. Ví dụ 8: những hàm số sau đông đảo là những hàm sơ cấp: • Hàm bậc nhất: y = ax + b .10 bài 1: Hàm số, số lượng giới hạn và liên tục • Hàm bậc hai: y = ax 2 + bx + c . ) ( • Hàm lôgarit: log a x + x 2 + 1 . 1 + sin x • hàm lượng giác: y = + arctg(2x + 3) . 1− x2 x • Hàm phân thức hũu tỷ: y = . 1− x21.2. Hàng số và số lượng giới hạn của hàng số1.2.1. Khái niệm1.2.1.1. Dãy số Ta gọi dãy số là 1 trong tập hợp các số (gọi là các số hạng) được viết theo một lắp thêm tự, hay được đặt số bằng những số trường đoản cú nhiên. Để cho 1 dãy số, fan ta hoàn toàn có thể dùng các phương thức như liệt kê, công thức bao quát và cách làm truy hồi. • Liệt kê: Viết toàn bộ các số hạng theo như đúng thứ từ bỏ (nếu ko viết được không còn thì dùng dấu “…” để biểu thị dãy còn nữa tục). • bí quyết tổng quát: chứng minh cách khẳng định một số hạng ngẫu nhiên chỉ cần phải biết thứ từ của số hạng đó trong dãy. • phương pháp truy hồi: chứng tỏ cách xác minh một số hạng lúc biết những số hạng tức khắc trước nó vào dãy. • Liệt kê chỉ có ý nghĩa sâu sắc mô tả và phù hợp nhất với dãy hữu hạn, rất có thể xem là cách màn trình diễn bằng quy nạp không trả toàn. Còn hai giải pháp kia đảm bảo an toàn có thể tìm được số hạng với máy tự ngẫu nhiên trong dãy. Ví dụ như 9: hàng Fibonacci và 3 cách màn biểu diễn nêu bên trên • Liệt kê: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, … • phương pháp tổng quát: Số hạng sản phẩm n là: n n ⎛ 1− 5 ⎞ ⎛ 1+ 5 ⎞ ⎜ 2 ⎟ +⎜ 2 ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ • cách làm truy hồi: nhì số hạng đầu tiên đề bởi 1, tiếp đó, số hạng sau được xem bằng tổng nhị số hạng liền trước. Công thức tổng quát của hàng số là phương pháp biểu diễn tốt nhất để hoàn toàn có thể định nghĩa dãy số. Dựa vào nó, hàng số được định nghĩa một cách hết sức đơn giản dễ dàng mà chặt chẽ. Định nghĩa: dãy số là một ánh xạ (hàm số) có miền xác định là (hoặc một tập con các số từ bỏ nhiên liên tục của ) và lấy quý giá trong tập những số thực R . Ta thường cam kết hiệu dãy số bởi vì x n n =1 xuất xắc gọn hơn x n . ∞ 11 bài bác 1: Hàm số, số lượng giới hạn và liên tiếp Ví dụ 10: ∞ ⎧1⎫ ⎧11 1⎫ ⎨ ⎬ = ⎨1, , ,..., ,...⎬ (A) ⎩ n ⎭n =1 ⎩ 2 3 n⎭ (−1) = −1,1, −1,..., (−1) n ,... N∞ (B) n =1 n = 1, 4,9,..., n 2 ,... 2∞ (C) n =1 ∞ ⎧n⎫ ⎧1 2 3 ⎫ n ⎬ = ⎨ , , ,..., (D) ,...⎬ ⎨ ⎩ n + 1 ⎭n =1 ⎩ 2 3 4 n +1 ⎭1.2.1.2. Hàng tăng, hàng giảm, hàng bị ngăn Dãy x n hotline là • dãy tăng giả dụ x n x n +1 ∀n ∈ • Dãy đối chọi điệu trường hợp nó là hàng tăng hoặc hàng giảm. • Bị ngăn trên giả dụ tồn trên số M làm sao cho x n ≤ M, ∀n ∈ • Bị ngăn dưới nếu tồn trên số m làm sao để cho x n ≥ m, ∀n ∈ • Bị ngăn nếu vừa bị chặn trên, vừa bị ngăn dưới. Trong lấy ví dụ như 10 • hàng (A) là hàng số giảm, bị ngăn dưới vị 0 cùng bị chặn trên vì 1. • hàng (B) không đối chọi điệu, bị chặn dưới bởi −1 cùng bị chặn trên bởi vì 1. • hàng (C) là dãy tăng, bị ngăn dưới vì 1 không trở nên chặn bên trên nên không biến thành chặn. • hàng (D) là dãy tăng, bị chặn dưới vì 0 với bị ngăn trên vày 1.1.2.2. Giới hạn của dãy số ∞ ⎧ 1⎫ ⎧1 1 1⎫ Xét dãy số ⎨ x n = n ⎬ = ⎨ , 2 ,..., n ,...⎬ . Khoảng cách giữa x n cùng 0 là: 2 ⎭n =1 ⎩ 2 2 2 ⎩ ⎭ 1 xn − 0 = 2n Ta thấy: mang lại trước một trong những ε > 0 bé nhỏ tùy ý thì sẽ tìm được một số N làm thế nào cho ∀n > N thì khoảng cách giữa x n cùng 0 sẽ bé nhiều hơn số ε đó. 1 Chẳng hạn, cho trước khoảng ε = 0, 05 thì chỉ việc n = 8 thì x n − 0 = 0 mang lại trước (bé tùy ý), lâu dài số thoải mái và tự nhiên n 0 sao để cho với phần đông n > n 0 thì x n − a bài xích 1: Hàm số, số lượng giới hạn và liên tiếp Ta viết: lim x n = a xuất xắc x n → a khi n → ∞ . N →∞ hàng x n được call là dãy quy tụ nếu tồn tại số a để lim x n = a . Vào trường hòa hợp n →∞ ngược lại, ta nói dãy phân kỳ. Trong khái niệm trên, số n 0 dựa vào vào ε cần ta viết n 0 = n 0 (ε) . Ví dụ như 11: 1 = 0. Lim n →∞ n thật vậy, ta có: 1 xn − 0 = . N ⎡1 ⎤ Với từng ε > 0 ngẫu nhiên chỉ phải chọn n 0 = ⎢ ⎥ + 1 thì khi n > n 0 tất cả ngay ⎣ε⎦ 1 1 xn − 0 = 0 đến trước (lớn tùy ý), vĩnh cửu số tự nhiên và thoải mái n 0 làm thế nào cho với đều n > n 0 thì x n > M ; ta cũng viết lim x n = ∞ cùng là dãy phân kỳ. N →∞ Trên trên đây chỉ phát biểu định nghĩa giới hạn vô cùng nói chung, ta có thể phát biểu chi tiết hơn về số lượng giới hạn +∞, −∞ .1.2.3. Tiêu chuẩn chỉnh tồn tại giới hạn1.2.3.1. Tính nhất của giới hạn Định lý: nếu như một dãy có giới hạn (hữu hạn) thì • Dãy đó là dãy bị chặn . • giới hạn là duy nhất.1.2.3.2. Nguyên lý giới hạn kẹp nếu có tía dãy số x n , y n , z n thỏa mãn: • x n ≤ yn ≤ zn lim x n = lim z n = a ( a hoàn toàn có thể hữu hạn, +∞ hoặc −∞ ) thì y n có giới hạn và • n →∞ n →∞ lim y n = a . N →∞1.2.3.3. Định lý Weierstrass hàng số tăng cùng bị chặn trên (hoặc sút và bị chặn dưới) thì hội tụ. 13 bài xích 1: Hàm số, giới hạn và liên tục1.2.4. Các định lý về số lượng giới hạn của dãy số mang lại x n , y n là các dãy có số lượng giới hạn hữu hạn. Dùng định nghĩa bao gồm thể minh chứng các hiệu quả sau: lim(x n ± y n ) = lim x n ± lim y n n →∞ n →∞ n →∞ lim(x n y n ) = lim x n lim y n n →∞ n →∞ n →∞ x n lim x n = n →∞ (khi lim y n ≠ 0) . Lim n →∞ y lim y n n →∞ n n →∞ để ý rằng khi cả x n , y n có các giới hạn vô rất thì nhìn chung không thực hiện 0∞ , , ∞ − ∞, 0.∞ . Khi đó ta được các hiệu quả nói trên. Các dạng vô định thường gặp mặt là 0∞ phải dùng những phép thay đổi để khử dạng vô định. Lấy ví dụ 12: 12 1+ − 2 ⎛∞⎞ n2 + n − 2 n n = 1. = lim ⎜ ⎟ : n →∞ lim 1 ⎝∞⎠ 2n + 1 2 2 n →∞ 2+ 2 n ⎛ ⎞ 2 3− ⎜ ⎟3 ) ( ⎛ ⎞ 3n − 2 n = lim ⎜ ⎟= . (∞ − ∞) : lim n 2 + 3n − 2 − n = lim ⎜ ⎟ n →+∞ ⎜ ⎟2 32 ⎝ n + 3n − 2 + n ⎠ n →+∞ n →+∞ 2 ⎜ 1+ − 2 +1 ⎟ ⎝ ⎠ nn1.3. Giới hạn và sự liên tiếp của hàm số1.3.1. Định nghĩa1.3.1.1. Định nghĩa (giới hạn hàm số) mang sử hàm số f (x) khẳng định ở ở bên cạnh điểm x 0 (có thể trừ tại x 0 ). Ta nói hàm số f (x) có giới hạn là A lúc x dần dần tới x 0 nếu: với đa số số ε > 0 cho trước, phần lớn tồn tại một trong những δ > 0 sao cho khi: x − x 0 x 0 tuyệt x bài 1: Hàm số, giới hạn và thường xuyên • quy trình x tiến cho x 0 về phía bên phải, có nghĩa là x → x 0 với đk x > x 0 , được kí hiệu là: x → x 0 + 0 hoặc đơn giản dễ dàng hơn là x → x 0 + • quá trình x tiến cho x 0 về phía mặt trái, tức là x → x 0 với điều kiện x x 0 • số lượng giới hạn bên trái: lim f (x) = f (x) . Lim x →x0 − x → x 0 ,x b (L b (f (x) g(x) ) với mọi x ∈ {x ∈ R : 0 bài xích 1: Hàm số, giới hạn và liên tục lim ( f (x)g(x) ) = L1L 2 • x →a f (x) L1 = • lúc L 2 ≠ 0 . Lim g(x) L 2 x →a Định lý: trả sử ϕ( x) với f (u) thỏa mãn các điều kiện: lim ϕ(x) = b cùng lim f (u) = f ( b ) = L • x →a u →b • sống thọ số δ > 0 sao cho khi x ∈ (a − δ;a + δ) và x ≠ a ta luôn luôn có: u = ϕ(x) ≠ b thì: lim f ( ϕ(x) ) = L . X →a Định lý: trường hợp hàm số sơ cấp f (x) xác định trong khoảng chứa điểm x = a thì lim f (x) = f (a) . X →a Định lý: nếu tồn trên số δ > 0 sao để cho u(x) ≤ f (x) ≤ v(x) với mọi x ∈ {x ∈ R : 0 0, lim g(x) = α . Khi đó: lim g(x ) = bα . X →a x →a x →a lấy một ví dụ 13: 3x 2x − 1 ⎛ 2x − 1 ⎞ x −5 3x = 2 và lim = 3. ⎟ = 2 = 8 , vì chưng lim 3 lim ⎜ x →∞ x + 1 x →∞ x − 5 ⎝ x +1 ⎠ x →∞ Định lý: nếu như lim f (x) = 0 với g(x) là 1 trong những hàm số bị ngăn thì lim f (x).g(x) = 0 . X →a x →a 1 1 = 0 vày lim x 2 = 0 với sin là hàm bị chặn. Ví dụ: lim x 2 sin x x x →0 x →01.3.3. Vô cùng lớn, cực kì bé1.3.3.1. Tư tưởng • Đại lượng f(x) gọi là một trong vô cùng nhỏ xíu (viết tắt là VCB) lúc x → a giả dụ lim f (x) = 0 . X →a Ở đây, a hoàn toàn có thể là hữu hạn hay vô cùng. Trường đoản cú định nghĩa giới hạn của hàm số, ta suy ra rằng nếu: f (x) → A lúc x → a thì f (x) = A + α(x) trong những số ấy α(x) là một VCB lúc x → a • Đại lượng F(x) gọi là 1 trong những vô cùng to (viết tắt là VCL) khi x → a nếu lim F(x) = +∞ x →a16 bài 1: Hàm số, số lượng giới hạn và tiếp tục 1 • rất có thể dễ dàng thấy rằng nếu f(x) là một VCB khác không khi x → a vậy nên VCL f (x) 1 và trái lại nếu F(x) là 1 VCL khác không lúc x → a thì là 1 trong những VCB F(x) khi x → a . Chú thích: • Một hàm hằng khác không dù nhỏ dại bao nhiêu cũng không là một trong những VCB khi x → a • Một hàm hằng lớn từng nào cũng ko thể là 1 trong những VCL lúc x → a1.3.3.2. Tính chất • nếu như f1 (x), f 2 (x) là hai ngân hàng ngoại thương vietcombank khi x → a thì f1 (x) ± f 2 (x), f1 (x).f 2 (x) cũng là những ngân hàng ngoại thương khi x → a . • ví như f1 (x), f 2 (x) thuộc dấu và là nhì VCL khi x → a thì f1 (x) + f 2 (x) cũng là một trong VCL khi x → a . Tích của nhị VCL khi x → a cũng là 1 VCL lúc x → a .1.3.3.3. So sánh các vô cùng nhỏ xíu • Bậc của những VCB Định nghĩa: trả sử α( x), β(x) là hai ngân hàng ngoại thương khi x → a . α(x) = 0 ; ta bảo rằng α( x) là ngân hàng ngoại thương bậc cao hơn β( x) . Giả dụ lim o β(x) x →a α(x) = ∞ ; ta bảo rằng α(x) là ngân hàng ngoại thương bậc thấp hơn β(x) . Trường hợp lim o β(x) x →a α(x) = A (≠ 0, ≠ ∞) ; ta nói rằng α(x) với β(x) là hai vcb cùng bậc. Giả dụ lim o x → a β(x) α(x) không tồn tại, ta nói rằng không thể đối chiếu hai vcb α(x) với Nếu lim o x → a β(x) β( x) . Lấy một ví dụ 14: 1 − cos x và 2x đông đảo là những ngân hàng ngoại thương vcb khi x → 0 . X x sin 2 sin 1 − cos x 2 = lim sin x .lim 1 . 2 =0 = lim Vì: lim x 2x x 2 2 x →0 x →0 x →0 2 nên 1 − cos x là ngân hàng ngoại thương bậc cao hơn nữa 2x . Ví dụ như 15: 1 x.sin với 2x là những ngân hàng ngoại thương vietcombank khi x → 0 . X 1 1 x sin sin x = 1 lim sin 1 . X = lim Vì: lim 2x 2 2 x →0 x x →0 x →0 17 bài xích 1: Hàm số, giới hạn và liên tục 1 1 nên x sin cùng 2x là hai ngân hàng ngoại thương vietcombank khi x → 0 không nhưng mà không sống thọ lim sin x x x →0 so sánh được cùng với nhau. • VCB tương tự Định nghĩa: Hai ngân hàng ngoại thương vcb α ( x ) cùng β ( x ) không giống 0 lúc x → a điện thoại tư vấn là tương đương với nhau giả dụ α(x) =1. Lim β(x) x →a Kí hiệu: α( x) ~ β ( x ) thừa nhận xét: 2VCB tương tự là trường hợp đặc biệt quan trọng của 2 ngân hàng ngoại thương vietcombank cùng bậc. Định lý: nếu như α(x) và β(x) là hai vcb khi x → a , α(x) ~ α1 (x), β(x) ~ β1 (x) khi x → a thì: α (x) α(x) = lim 1 lim . X → a β(x) x → a β (x) 1 α(x) β(x) thật vậy, do α(x) ~ α1 (x), β(x) ~ β1 (x) ; ta có: lim = 1; lim = 1. α1 (x) x → a β (x) x →a 11.3.3.4. Các vô cùng nhỏ xíu tương đương thường chạm mặt Nếu α(x) → 0 lúc x → a thì : ⎧sin α(x) ~ α(x), tgα(x)~α(x), ⎨ ⎩arcsinα(x) ~ α(x), arctgα(x) ~ α(x).1.3.4. Hàm số liên tục1.3.4.1. Định nghĩa f là 1 trong những hàm số xác định trong khoảng chừng (a, b), x 0 là 1 điểm ở trong (a, b) .Ta bảo rằng hàm số f liên tục tại x 0 nếu: limf(x) =f(x0). (1.1) x→x0 nếu hàm số f không liên tiếp tại x 0 , ta nói rằng nó cách trở tại x 0 . Trường hợp đặt: x = x 0 + Δx, Δy = f (x) − f (x 0 ) thì đẳng thức (1.1) hoàn toàn có thể viết là: lim = 0 tốt lim Δy = 0 . X →x0 Δx →0 Chú thích: Ta cũng nói theo cách khác rằng f liên tục tại x 0 ∈ (a, b) nếu: lim f (x) = f ( lim x) . X →x0 x →x0 lấy một ví dụ 16: Hàm số y = x 2 liên tục tại đều x 0 ∈ R . Thật vậy, ta có: y 0 = x 0 2 , y0 + Δy = (x 0 + Δx) 2 , Δy = (x 0 + Δx) 2 − x 0 2 = 2x 0 Δx + (Δx) 2 ; lim Δy = 2x 0 . Lim Δx + lim Δx. Lim Δx = 0. Δx → 0 Δx → 0 Δx → 0 Δx →0 tựa như như vậy, có thể minh chứng được rằng những hàm số sơ cung cấp cơ bạn dạng đều thường xuyên tại phần lớn điểm trực thuộc miền xác minh của nó.18 bài 1: Hàm số, giới hạn và liên tiếp Định nghĩa: f(x) được call là: liên tiếp trong khoảng (a, b) ví như nó thường xuyên tại rất nhiều điểm của khoảng đó. Liên tục trên đoạn , nếu nó liên tục tại đều điểm của khoảng (a, b) , đồng thời thường xuyên phải trên a (tức là lim f (x) = f (a) ) và thường xuyên trái tại b (tức là: lim f (x) = f (b) ). X →a + 0 x →b −01.3.4.2. Những phép toán về hàm liên tục Từ các định lý về số lượng giới hạn của tổng, tích, thương và từ định nghĩa của hàm số liên tiếp tại một điểm, hoàn toàn có thể dễ dàng suy ra: Định lý: nếu như f và g là hai hàm số thường xuyên tại x 0 thì: • f (x) + g(x) liên tục tại x 0 • f (x).g(x) liên tiếp tại x 0 f (x) • liên tiếp tại x 0 ví như g(x 0 ) ≠ 0 . G(x) Định lý: giả dụ hàm số u = ϕ(x) liên tục tại x 0 , hàm số y = f (u) liên tục tại u 0 = ϕ(x 0 ) thì hàm số đúng theo y = (f ϕ)(x) = f tiếp tục tại x 0 . Chứng minh: Ta gồm lim ϕ(x) = ϕ(x 0 ) = u 0 vị ϕ liên tục tại x 0 . X →x0 Hàm số: y = f (u) liên tục tại u 0 . Bởi vì đó: lim f (u) = f (u 0 ) u →u01.3.4.3. Tính chất của hàm số thường xuyên Các định lý tiếp sau đây (không bệnh minh) đặt ra những tính chất cơ bản của hàm số liên tục. Định lý: giả dụ hàm số f (x) liên tục trên đoạn thì nó bị ngăn trên đoạn đó, có nghĩa là tồn tại hai số m với M làm thế nào để cho m ≤ f (x) ≤ M ∀x ∈ . Định lý: nếu như hàm số f (x) tiếp tục trên đoạn thì nó đạt giá chỉ trị nhỏ dại nhất m với giá trị lớn nhất M của nó trên đoạn ấy, có nghĩa là tồn tại hai điểm x1 , x 2 sao cho: f (x 1 ) = m ≤ f (x) ∀x ∈ ; f (x 2 ) = M ≥ f (x) ∀x ∈ Định lý (về cực hiếm trung gian): ví như hàm số f (x) liên tiếp trên đoạn ; m với M là các giá trị nhỏ dại nhất và lớn nhất trên đoạn đó thì với đa số số μ nằm trong lòng m cùng M luôn luôn tồn tại ξ ∈ sao cho: f ( ξ) = μ .

Xem thêm: Các Chất Được Cấu Tạo Như Thế Nào Lý 8, Please Wait

Hệ quả: nếu như f(x) tiếp tục trên , f(a)f(b) bài 1: Hàm số, giới hạn và liên tụcTÓM LƯỢC CUỐI BÀITrong bài xích này chúng ta nghiên cứu ba sự việc là:• Những sự việc cơ bản về hàm số một phát triển thành số• hàng số và giới hạn của hàng số• giới hạn của hàm sốPhần thứ nhất hệ thống hóa lại những khái niệm cơ bạn dạng về hàm số một trở nên số, một trong những tính chấtcủa hàm số như tính đơn điệu, tính chẵn lẻ, tính tuần hoàn. Tiếp theo, học viên sẽ khám phá cáckhái niệm về hàng số và số lượng giới hạn của dãy số, các định lý áp dụng để tính giới hạn của dãy số.Phần sau cuối trình bày về số lượng giới hạn hàm số, hàm số thường xuyên và các khái niệm hết sức lớn, vôcùng bé.20