Với phương pháp giải các dạng toán về số lượng giới hạn của hàm số môn Toán lớp 11 Đại số cùng Giải tích gồm cách thức giải chi tiết, bài xích tập minh họa có lời giải và bài tập từ luyện sẽ giúp học sinh biết cách làm bài tập những dạng toán về số lượng giới hạn của hàm số lớp 11. Mời chúng ta đón xem:


Giới hạn của hàm số và cách giải bài xích tập - Toán lớp 11

1. Lý thuyết

a) giới hạn của hàm số trên một điểm:

* số lượng giới hạn hữu hạn: Cho khoảng tầm K chứa điểm x0 . Ta nói rằng hàm số f(x) khẳng định trên K (có thể trừ điểm x0) có giới hạn là L lúc x dần dần tới x0 nếu như với dãy số (xn) bất kì, xn∈Kx0và xn→x0, ta có: f(xn)→L

Kí hiệu:limx→x0f(x)=L giỏi f(x)→Lkhi x→x0.

Bạn đang xem: Tính giới hạn của hàm số

Nhận xét: nếu như f(x) là hàm số sơ cấp xác định tại x0 thì limx→x0fx=fx0.

* số lượng giới hạn ra vô cực:

Hàm số y = f(x) có giới hạn dần cho tới dương vô rất khi x dần tới x0 nếu với tất cả dãy số (xn):xn→x0thì f(xn)→+∞.

Kí hiệu: .

Hàm số y = f(x) có số lượng giới hạn dần tới âm vô cực khi x dần dần tới x0 nếu với đa số dãy số (xn):xn→x0thì f(xn)→−∞.

Kí hiệu: limx→x0f(x)=−∞.

b) số lượng giới hạn của hàm số tại vô cực:

* số lượng giới hạn ra hữu hạn:

- Ta nói hàm số y = f(x) khẳng định trên (a;+∞)có số lượng giới hạn là L lúc x→+∞nếu với đa số dãy số (xn):xn>avà xn→+∞thì f(xn)→L.

Kí hiệu: limx→+∞f(x)=L.

- Ta nói hàm số y = f(x) khẳng định trên (−∞;b)có giới hạn là L lúc x→−∞nếu với tất cả dãy số (xn):xnbvà xn→−∞thì f(xn)→L.

Kí hiệu: limx→−∞f(x)=L.

* giới hạn ra vô cực:

- Ta nói hàm số y = f(x) xác minh trên (a;+∞)có số lượng giới hạn dần tới dương vô cùng (hoặc âm vô cùng) lúc x→+∞nếu với mọi dãy số (xn):xn>avà xn→+∞thì f(xn)→+∞(hoặc f(xn)→−∞).

Kí hiệu: limx→+∞f(x)=+∞(hoặc limx→+∞f(x)=-∞).

- Ta nói hàm số y = f(x) xác định trên (−∞;b)có số lượng giới hạn là dần dần tới dương khôn cùng (hoặc âm vô cùng) khi x→−∞nếu với tất cả dãy số (xn):xnbvà xn→−∞thì f(xn)→+∞. (hoặc f(xn)→−∞).

Kí hiệu: limx→-∞f(x)=+∞(hoặc limx→-∞f(x)=−∞).

c) Các số lượng giới hạn đặc biệt:

*

d) Một vài ba định lý về số lượng giới hạn hữu hạn:

*

Chú ý:

- các định lý về số lượng giới hạn hữu hạn của hàm số vẫn đúng vào khi thay x→x0bởi x→+∞ hoặc x→-∞.

- Định lí trên ta chỉ vận dụng cho hồ hết hàm số có giới hạn là hữu hạn. Ta ko áp dụng cho các giới hạn dần về vô cực.

* Nguyên lí kẹp:

Cho ba hàm số f(x), g(x), h(x) khẳng định trên K cất điểm x0 (có thể những hàm đó không xác minh tại x0). Nếu g(x)≤f(x)≤h(x)  ∀x∈Klimx→x0g(x)=limx→x0h(x)=Lthì .

e) luật lệ về số lượng giới hạn vô cực

Quy tắc tìm số lượng giới hạn của tích f(x)g(x)

*

Quy tắc tìm giới hạn của thươngf(x)g(x)

f) giới hạn một bên:

* số lượng giới hạn hữu hạn:

- Định nghĩa 1: mang sử hàm số f xác định trên khoảng chừng x0;b,x0∈ℝ. Ta nói rằng hàm số f có số lượng giới hạn bên bắt buộc là số thực L khi dần mang đến x0 (hoặc trên điểm x0) nếu với tất cả dãy số bất kì (xn) phần lớn số thuộc khoảng tầm (x0; b) nhưng mà lim xn = x0 ta đều sở hữu lim f(xn) = L.

Khi đó ta viết: limx→x0+fx=Lhoặc fx→Lkhi x→x0+.

- Định nghĩa 2: trả sử hàm số f khẳng định trên khoảng chừng a;x0,x0∈ℝ. Ta nói rằng hàm số có giới hạn bên trái là số thực L khi x dần mang đến x0 (hoặc tại điểm x0) nếu với tất cả dãy bất cứ (xn) phần đa số thuộc khoảng chừng (a; x0) nhưng lim xn = x0 ta đều có lim f(xn) = L.

Khi đó ta viết: limx→x0−fx=Lhoặc fx→Lkhi x→x0−.

- dấn xét:

limx→x0fx=L⇔limx→x0−fx=limx→x0+fx=L

Các định lí về giới hạn của hàm số vẫn đúng khi thay x→x0bởi x→x0− hoặc x→x0+.

* giới hạn vô cực:

- những định nghĩa limx→x0−fx=+∞, limx→x0−fx=−∞, limx→x0+fx=+∞và limx→x0+fx=−∞được phân phát biểu giống như như có mang 1 và có mang 2.

- nhấn xét: những định lí về số lượng giới hạn của hàm số vẫn đúng nếu cầm cố L vì chưng +∞ hoặc-∞

2. Các dạng bài xích tập

Dạng 1: giới hạn tại một điểm

Phương pháp giải:

- trường hợp f(x) là hàm số sơ cấp khẳng định tại x0 thìlimx→x0fx=fx0

- Áp dụng luật lệ về số lượng giới hạn tới vô cực:

*

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tính các giới hạn sau:

*

Lời giải

Ví dụ 2: Tính những giới hạn sau:

*

Lời giải

Dạng 2: giới hạn tại vô rất

Phương pháp giải:

- Rút lũy thừa bao gồm số mũ bự nhất

- Áp dụng quy tắc số lượng giới hạn tới vô cực

*

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tính các giới hạn sau:

a)limx→+∞(7x5+5x2−x+7)

b)limx→−∞4x5−3x3+x+1

Lời giải

*

Ví dụ 2: Tính những giới hạn sau:

a)limx→+∞x6+5x−1

b)limx→−∞2x2+1+x

Lời giải

*

Dạng 3: Sử dụng nguyên lý kẹp

Nguyên lí kẹp:

Cho cha hàm số f(x), g(x), h(x) xác minh trên K cất điểm x0 (có thể các hàm đó không khẳng định tại x0). Nếu g(x)≤f(x)≤h(x)  ∀x∈Klimx→x0g(x)=limx→x0h(x)=Lthì limx→x0f(x)=L.

Phương pháp giải:

Xét tính bị ngăn của hàm số f(x) vì chưng hai hàm số g(x) với h(x) sao cholimx→x0g(x)=limx→x0h(x)=L

Chú ý tính bị chặn của hàm con số giác:

−1≤sinx≤1−1≤cosx≤1

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tính giới hạn của hàm số:

a)limx→0x2cos2nx

b)limx→−∞cos5x2x

Lời giải

*

Ví dụ 2: Tính giới hạn của hàm số:limx→+∞2sinx+cos3xx+1−x

Lời giải

*

Dạng 4: giới hạn dạng vô định00

Nhận biết dạng vô định 00: Tính limx→x0f(x)g(x)trong kia f(x0) = g(x0) = 0.

Phương pháp giải:

Để khử dạng vô định này ta đối chiếu f(x) và g(x) thế nào cho xuất hiện nay nhân tử tầm thường là (x – x0)

Định lí: Nếu đa thức f(x) tất cả nghiệm x = x0 thì ta có: f(x) = (x – x0)f1(x).

* nếu f(x) cùng g(x) là các đa thức thì ta so sánh f(x) = (x – x0)f1(x) với g(x) = (x – x0)g1(x).

Khi đó limx→x0f(x)g(x)=limx→x0f1(x)g1(x), nếu giới hạn này còn có dạng 00thì ta liên tục quá trình như trên.

Chú ý: giả dụ tam thức bậc hai ax2 + bx + c gồm hai nghiệm x1; x2 thì ta luôn luôn có sự phân tích: ax2 + bx + c = a(x – x1) (x – x2)

* trường hợp f(x) với g(x) là những hàm chứa căn thức thì ta nhân lượng liên hợp để gửi về những đa thức, rồi phân tích những đa thức như trên.

Các lượng liên hợp:

*

* nếu như f(x) cùng g(x) là những hàm đựng căn thức không ngang hàng ta sử dụng phương thức tách, chẳng hạn:

Nếu u(x)n,v(x)m→c thì ta phân tích:

u(x)n−v(x)m=(u(x)n−c)−(v(x)m−c)

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tính những giới hạn sau:

a)limx→1x3−3x2+2x2−4x+3

b)limx→22x2−5x+2x3−8

Lời giải

a)limx→1x3−3x2+2x2−4x+3

=limx→1(x−1)(x2−2x−2)(x−1)(x−3)=limx→1x2−2x−2x−3=32

b)limx→22x2−5x+2x3−8

=limx→2(2x−1)(x−2)(x−2)(x2+2x+4)=limx→22x−1x2+2x+4=14

Ví dụ 2: Tính những giới hạn sau:

*

Lời giải

*

*

Dạng 5: số lượng giới hạn dạng vô định∞∞

Nhận biết dạng vô định∞∞

limx→x0uxvxkhi limx→x0ux=±∞,limx→x0vx=±∞

limx→±∞uxvx khilimx→x0ux=±∞,limx→x0vx=±∞

Phương pháp giải:

- phân tách tử và mẫu mang đến xn với n là số mũ cao nhất của thay đổi ở mẫu mã (Hoặc phân tích thành tích chứa nhân tử xn rồi giản ước).

- Nếu u(x) hoặc v(x) gồm chứa đổi thay x trong vệt căn thì đưa xk ra bên ngoài dấu căn (Với k là mũ tối đa của đổi thay x trong vệt căn), sau đó chia tử và mẫu đến lũy thừa cao nhất của x.

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tính những giới hạn sau:

*

Lời giải

*

*

Ví dụ 2: Tính các giới hạn sau:

*

Lời giải

*

*

*

Dạng 6: số lượng giới hạn dạng vô định ∞−∞ và0.∞

Phương pháp giải:

- ví như biểu thức chứa biến chuyển số dưới dấu căn thì nhân và phân chia với biểu thức liên hợp

- nếu như biểu thức đựng nhiều phân thức thì quy đồng mẫu và mang đến cùng một biểu thức

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tính những giới hạn sau:

*

Lời giải

*

Ví dụ 2: Tính những giới hạn sau:

a)limx→01x−1x2

b)limx→01x1x+1−1

Lời giải

*

Dạng 7: Tính số lượng giới hạn một bên

Phương pháp giải:

Sử dụng luật lệ tính số lượng giới hạn tới vô cực

*

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tính những giới hạn sau:

*

Lời giải

*

Ví dụ 2: đến hàm số fx=x2+11−x khi x12x−2 khi x≥1. Tính:

a)limx→1+fx

b) limx→1−fx

Lời giải

a)limx→1+fx=limx→1+2x−2=2.1−2=0

b) limx→1−fx=limx→1−x2+11−x=+∞ vìlimx→1−x2+1=2>0limx→1−1−x=0x→1−⇒x1⇒1−x>0

Dạng 8: tra cứu tham số m nhằm hàm số tất cả giới hạn ở 1 điểm cho trước

Phương pháp giải:

Sử dụng nhấn xét:limx→x0fx=L⇔limx→x0−fx=limx→x0+fx=L

- Tính giới hạnlimx→x0−fx;  limx→x0+fx

- Để hàm số có giới hạn tại x = x0 cho trước thì limx→x0−fx= limx→x0+fx. Tìm kiếm m.

Khi đó với m vừa tra cứu được, hàm số có giới hạn tại x = x0 đến trước và giới hạn đó bằngL=limx→x0−fx= limx→x0+fx

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: mang lại hàm số fx=x2−3x+2x−2      x>2a                       x≤2. Với mức giá trị làm sao của a thì hàm số đã mang đến có số lượng giới hạn tại điểm x = 2?

Lời giải

Ta có

limx→2+fx=limx→2+x2−3x+2x−2=limx→2+x−1x−2x−2=limx→2+x−1=1

limx→2−fx=a.

Để hàm số có số lượng giới hạn tại x = 2 thì limx→2+fx= limx→2−fx.

⇒a=1

Vậy a = 1.

Ví dụ 2: Tìm các giá trị thực của tham số fx=m−3khi x12m−13khi x=11−7x2+2khi x>1để hàm số nhằm tồn trên limx→1fx.

Lời giải

Ta cólimx→1−fx=limx→1−m−3=m−3limx→1+fx=limx→1+1−7x2+2=−2

Để hàm số có số lượng giới hạn tại x = 1 thì limx→1−fx=limx→1+fx.

⇒m−3=−2⇔m=1

Vậy m = 1.

3. Bài xích tập tự luyện

Câu 1. Tính limx→1−−3x−1x−1bằng:

A. -1

B. -∞

C.+∞

D. -3

Câu 2. Tính limx→+∞2x2−13−x2bằng:

A. -2

B.13

C.23

D. 2

Câu 3. Tính limx→2x3−8x2−4bằng:

A. 3

B. 1

C. 4

D. 2

Câu 4. Tính limx→−4x2+3x−4x2+4xbằng:

A. -1

B. 54

C. 1

D.-54

Câu 5. Tính limx→1x3−1x−1bằng:

A. 13

B. 1

C. 12

D. 2

Câu 6. Tính limx→0x3+1−1x2+xbằng:

A. 4

B. 3

C. 0

D. 1

Câu 7. Tính limx→−∞4x2−x+1x+1 bằng:

A. -2

B. 1

C. 2

D. -1

Câu 8. Tính limx→+∞x+5−x−7 bằng:

A.-∞

B.+∞

C. 0

D. 4

Câu 9. Tính limx→−∞−2x5+x4−33x2−7là:

A. 0

B. +∞

C. -2

D.-∞

Câu 10. Tínhlimx→+∞x2−4x−x

A. -2

B. -∞

C. 0

D.+∞

Câu 11. Cho limx→−∞x2+ax+5+x=5. Cực hiếm của a là:

A. 6

B. 10

C. -10

D. -6

Câu 12. Kết trái đúng của limx→1x3−1x4−1bằng:

A. 34

B. 4

C. 43

D. 3

Câu 13. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề như thế nào đúng?

A. limx→−∞x4−x1−2x=0

B. limx→−∞x4−x1−2x=+∞

C. limx→−∞x4−x1−2x=1

D. limx→−∞x4−x1−2x=−∞

Câu 14. Cho fx=4−x2      −2≤x≤2x2−4x−2                         x>2. Tính limx→−2+fx.

A. 0

B. 4

C.+∞

D.

Xem thêm: 18 Fun Birthday Facts About January 2, 2002 You Must Know, Wednesday January 02, 2002

ko tồn tại

Câu 15. Tìm những giá trị thực của tham số m nhằm hàm số fx=x+m khi  x0x2+1khi  x≥0 có giới hạn tại x = 0.