Bài viết này x-lair.com tổng vừa lòng và trình làng lại một số trong những công thức tính cấp tốc thể tích của khối tứ diện cho một vài trường hợp quan trọng đặc biệt hay gặp

https://www.x-lair.com/khoa-hoc/nhom/combo-4-khoa-luyen-thi-thpt-quoc-gia-2021-mon-toan-danh-cho-teen-2k3-12

Đồng thời trình bày công thức tổng thể tính thể tích mang đến khối tứ diện bất kì khi biết độ dài tất cả 6 cạnh của tứ diện. Việc ghi nhớ các công thức này giúp những em giải quyết nhanh một số dạng bài khó về thể tích khối tứ diện trong đề thi THPT quốc gia 2019 - Môn Toán.

Bạn đang xem: Thể tích tứ diện

Bài viết này trích lược một trong những công thức nhanh hay cần sử dụng cho khối tứ diện. Những công thức nhanh khác liên quan đến thể tích khối tứ diện với thể tích khối lăng trụ chúng ta đọc tham khảo khoá combo X vì chưng x-lair.com thiết kế tại đây:https://www.x-lair.com/khoa-hoc/nhom/combo-4-khoa-luyen-thi-thpt-quoc-gia-2020-mon-toan-danh-cho-teen-2k2-9

Công thức tổng quát:Khối tứ diện $ABCD$ gồm $BC=a,CA=b,AB=c,AD=d,BD=e,CD=f$ ta có công thức tính thể tích của tứ diện theo sáu cạnh như sau: trong những số ấy <eginalign và M=a^2d^2(b^2+e^2+c^2+f^2-a^2-d^2) \ & N=b^2e^2(a^2+d^2+c^2+f^2-b^2-e^2) \ & P=c^2f^2(a^2+d^2+b^2+e^2-c^2-f^2) \ & Q=(abc)^2+(aef)^2+(bdf)^2+(cde)^2 \ endalign>

Công thức 1: Khối tứ diện đều

Khối tứ diện phần lớn cạnh $a,$ ta tất cả $V=dfraca^3sqrt212.$

Ví dụ 1: Cho tứ diện đều có chiều cao bởi . Thể tích của khối tứ diện đã đến là

A. .

B. .

C. .

D. .

Giải.Thể tích tứ diện hầu hết cạnh $a$ là $V=fracsqrt2a^312.$

Chiều cao tứ diện các là $h=frac3VS=frac3left( fracsqrt2a^312 ight)fracsqrt3a^24=sqrtfrac23aRightarrow a=sqrtfrac32h.$

Vì vậy $V=fracsqrt212left( sqrtfrac32h ight)^3=fracsqrt3h^38.$ Chọn đáp án B.

Công thức 2: Khối tứ diện vuông (các góc trên một đỉnh của tứ diện là góc vuông)

Với tứ diện $ABCD$ có $AB,AC,AD$ đôi một vuông góc với $AB=a,AC=b,AD=c,$ ta tất cả $V=dfrac16abc.$

Công thức 3: Khối tứ diện gần gần như (các cặp cạnh đối khớp ứng bằng nhau)

Với tứ diện $ABCD$ có $AB=CD=a,BC=AD=b,AC=BD=c$ ta bao gồm

*

Ví dụ 1:Chokhối tứ diện $ABCD$có $AB=CD=8,AD=BC=5$ và $AC=BD=7.$ Thể tích khối tứ diện đã đến bằng

A. $fracsqrt303.$

B. $frac20sqrt113.$

C. $sqrt30.$

D. $20sqrt11.$

Giải. Ta tất cả $V_ABCD=fracsqrt212sqrt(8^2+5^2-7^2)(5^2+7^2-8^2)(7^2+8^2-5^2)=frac20sqrt113.$ Chọn câu trả lời B.

Ví dụ 2:Cho tứ diện $ABCD$ tất cả $AB=CD=8,AD=BC=5$ cùng $AC=BD=7.$ gọi $M$ là trung điểm cạnh $AB.$Khoảng cách từ điểm $A$ cho mặt phẳng $(CMD)$bằng

A. $fracsqrt312.$

B. $fracsqrt552.$

C. $fracsqrt212.$

D. $fracsqrt332.$

Giải. Ta gồm $V_AMCD=fracAMABV_ABCD=frac12V_ABCD=fracsqrt224sqrt(8^2+5^2-7^2)(5^2+7^2-8^2)(7^2+8^2-5^2)=frac10sqrt113.$

Tam giác $MCD$ tất cả $CD=8$ cùng theo bí quyết đường trung đường ta có:

$MC=sqrtfrac2(CA^2+CB^2)-AB^24=sqrtfrac2(7^2+5^2)-8^24=sqrt21.$

và $MD=sqrtfrac2(DA^2+DB^2)-AB^24=sqrtfrac2(5^2+7^2)-8^24=sqrt21.$

Vậy $S_MCD=4sqrt5.$ vì thế $d(A,(MCD))=frac3V_AMCDS_MCD=frac10sqrt114sqrt5=fracsqrt552.$ Chọn lời giải B.

Ví dụ 3:Khối tứ diện $ABCD$ bao gồm $AB=CD=5a,AC=BD=6a,AD=BC=7a$ rất có thể tích bằng

A. $sqrt95a^3.$

B. $8sqrt95a^3.$

C. $2sqrt95a^3.$

D. $4sqrt95a^3.$

Giải.Áp dụng phương pháp tính thể tích khối tứ diện gần phần nhiều có

$V_ABCD=dfracsqrt212sqrtleft( 5^2+6^2-7^2 ight)left( 6^2+7^2-5^2 ight)left( 7^2+5^2-6^2 ight)a^3=2sqrt95a^3.$

Chọn câu trả lời C.

Công thức 4: Khối tứ diện có khoảng cách và góc giữa cặp cạnh đối lập của tứ diện

Tứ diện $ABCD$ có $AD=a,BC=b,d(AD,BC)=d,(AD,BC)=alpha ,$ ta bao gồm $V=dfrac16abdsin alpha .$

Ví dụ 1.Cho khối tứ diện $ABCD$ có $AB=AC=BD=CD=1.$ khi thể tích khối tứ diện $ABCD$ đạt giá bán trị lớn nhất thì khoảng cách giữa hai tuyến đường thẳng $AD$ cùng $BC$ bằng
A. $frac2sqrt3.$ B. $frac1sqrt3.$ C. $frac1sqrt2.$ D. $frac13.$

Ví dụ 2:Cho hai mặt cầu $(S_1),(S_2)$ có cùng trọng tâm $I$ và nửa đường kính lần lượt $R_1=2,R_2=sqrt10.$ Xét tứ diện $ABCD$ có hai đỉnh $A,B$ nằm trong $(S_1);$ nhì đỉnh $C,D$ nằm trong $(S_2).$ Thể tích khối tứ diện $ABCD$ có giá trị lớn số 1 bằng

A. $3sqrt2.$

B. $2sqrt3.$

C. $6sqrt3.$

D. $6sqrt2.$

Giải.Gọi $a,b$ theo lần lượt là khoảng cách từ trọng điểm $I$ đến hai đường thẳng $AB,CD.$

Ta có $AB=2sqrtR_1^2-a^2=2sqrt4-a^2;CD=2sqrtR_2^2-b^2=2sqrt10-b^2$ cùng $d(AB,CD)le d(I,AB)+d(I,CD)=a+b$ cùng $sin (AB,CD)le 1.$

Do đó vận dụng công thức tính thể tích tứ diện theo khoảng cách chéo nhau của cặp cạnh đối lập có:

$egingathered V_ABCD = frac16AB.CD.d(AB,CD).sin (AB,CD) leqslant frac23(a + b)sqrt 4 - a^2 sqrt 10 - b^2 \ = frac23left( asqrt 4 - a^2 sqrt 10 - b^2 + bsqrt 10 - b^2 sqrt 4 - a^2 ight) = frac23left( sqrt 4a^2 - a^4 sqrt 10 - b^2 + sqrt frac10b^2 - b^42 sqrt 8 - 2a^2 ight) \ leqslant frac23sqrt left( 4a^2 - a^4 + 8 - 2a^2 ight)left( 10 - b^2 + frac10b^2 - b^42 ight) = frac23sqrt left( - (a^2 - 1)^2 + 9 ight)left( - frac12(b^2 - 4)^2 + 18 ight) leqslant frac23sqrt 9.18 = 6sqrt 2 . \ endgathered $

Dấu bởi đạt trên $(a;b)=(1;2).$ Chọn giải đáp D.

Ví dụ 3:Cho một hình trụ bao gồm thiết diện qua trục là một hình vuông cạnh bởi $a.$ biết rằng $AB$ cùng $CD$ là hai 2 lần bán kính tương ứng của nhị đáy và góc giữa hai tuyến đường thẳng $AB$ và $CD$ bằng $30^circ .$ Tính thể tích khối tứ diện $ABCD.$

A. $fraca^312.$

B. $fraca^3sqrt36.$

C. $fraca^36.$

D. $fraca^3sqrt312.$

Có $h=2r=a;V_ABCD=frac16AB.CD.d(AB,CD).sin (AB,CD)=frac13.2r.2r.h.sin 30^0=fraca^36.$ Chọn đáp án C.

Công thức 5: Khối tứ diện biết diện tích s hai khía cạnh kề nhau

*

Ví dụ 1: mang đến khối chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $A,AB=a,widehatSBA=widehatSCA=90^circ ,$ góc thân hai phương diện phẳng $(SAB)$ với $(SAC)$ bằng $60^circ .$ Thể tích của khối chóp đã cho bằng

A. $a^3.$

B. $fraca^33.$

C. $fraca^32.$

D. $fraca^36.$

Lời giải bỏ ra tiết. hotline $H=mathbfh/c(S,(ABC))$ ta gồm $left{ egingathered AB ot SB hfill \ AB ot SH hfill \ endgathered ight. Rightarrow AB ot (SBH) Rightarrow AB ot BH;left{ egingathered AC ot SC hfill \ AC ot SH hfill \ endgathered ight. Rightarrow AC ot (SCH) Rightarrow AC ot CH.$ Kết hợp với $ABC$ là tam giác vuông cân nặng tại $A,AB=a$ suy ra $ABHC$ là hình vuông.

*
Đặt $h=SHRightarrow V_S.ABC=frac13S_ABC.SH=fraca^2h6(1).$

Mặt không giống $V_S.ABC=frac2S_SAB.S_SAC.sin left( (SAB),(SAC) ight)3SA=frac2left( fracasqrta^2+h^22 ight)left( fracasqrta^2+h^22 ight)fracsqrt323sqrt2a^2+h^2(2).$

Từ (1) với (2) suy ra $h=aRightarrow V=fraca^36.$ Chọn đáp án D.

Ví dụ 2:Cho tứ diện $ABCD$ tất cả $widehatABC=widehatBCD=widehatCDA=90^0,BC=a,CD=2a,cos left( (ABC),(ACD) ight)=dfracsqrt13065.$ Thể tích khối tứ diện $ABCD$ bằng

A. $fraca^33.$

B. $a^3.$

C. $frac2a^33.$

D. $3a^3.$

Lời giải chi tiết. call $H=mathbfh/c(A,(BCD)).$ Đặt $AH=hRightarrow V_ABCD=frac13S_BCD.AH=frac13.frac12CB.CD.AH=fraca^2h3(1).$

*

Ta có $left{ egingathered CB ot cha hfill \ CB ot AH hfill \ endgathered ight. Rightarrow CB ot (ABH) Rightarrow CB ot HB.$ giống như $left{ egingathered CD ot domain authority hfill \ CD ot AH hfill \ endgathered ight. Rightarrow CD ot (ADH) Rightarrow CD ot HD.$

Kết hợp với $widehatBCD=90^0Rightarrow HBCD$ là hình chữ nhật.

Suy ra $AB=sqrtAH^2+HB^2=sqrth^2+4a^2,AD=sqrtAH^2+HD^2=sqrth^2+a^2;AC=sqrtAB^2+BC^2=sqrth^2+5a^2.$

Suy ra $S_ABC=frac12AB.BC=fracasqrth^2+4a^22;S_ACD=frac12AD.DC=asqrth^2+a^2.$

Suy ra $V_ABCD=frac2S_ABC.S_ACD.sin left( (ABC),(ACD) ight)3AC=fraca^2sqrth^2+4a^2sqrth^2+a^23sqrth^2+5a^2sqrt1-left( fracsqrt13065 ight)^2(2).$

Kết hòa hợp (1), (2) suy ra: $h=3aRightarrow V_ABCD=a^3.$ Chọn lời giải B.

Ví dụ 3:Cho hình chóp $S.ABCD$ gồm đáy là hình thoi cạnh $a,widehatABC=120^0.$ sát bên $SA$ vuông góc cùng với đáy cùng góc giữa hai khía cạnh phẳng $(SBC),(SCD)$ bằng $60^0,$ khi đó $SA$ bằng

A. $dfracsqrt6a4.$

B. $sqrt6a.$

C. $dfracsqrt6a2.$

D. $dfracsqrt3a2.$

Có $SA=x>0Rightarrow V_S.BCD=dfrac13S_BCD.SA=dfracsqrt3x12(1),left( a=1 ight).$

Mặt không giống $V_S.BCD=dfrac2S_SBC.S_SCD.sin left( (SBC),(SCD) ight)3SC=dfrac2left( dfracsqrt4x^2+34 ight)^2dfracsqrt323sqrtx^2+3(2).$

Trong kia $BC=1,SB=sqrtx^2+1,SC=sqrtx^2+3Rightarrow S_SBC=dfracsqrt4x^2+34;Delta SBC=Delta SDC(c-c-c)Rightarrow S_SCD=dfracsqrt4x^2+34.$

Từ (1) với (2) suy ra Chọn đáp án A.

Ví dụ 4: cho tứ diện $ABCD$ gồm $ABC$ và $ABD$ là tam giác những cạnh bởi $a.$ Thể tích khối tứ diện $ABCD$ có giá trị lớn số 1 bằng

A. $dfraca^38.$

B. $dfraca^3sqrt212.$

C. $dfraca^3sqrt38.$

D. $dfraca^3sqrt312.$

Có $V_ABCD=dfrac2S_ABCS_ABDsin left( (ABC),(ABD) ight)3AB=dfrac2left( dfracsqrt3a^24 ight)left( dfracsqrt3a^24 ight)3asin left( (ABC),(ABD) ight)le dfrac2left( dfracsqrt3a^24 ight)left( fracsqrt3a^24 ight)3a=dfraca^38.$

Dấu bằng đạt trên $(ABC)ot (ABD).$ Chọn lời giải A.

Công thức 6:Mở rộng mang lại khối chóp có diện tích s mặt bên và phương diện đáy

Khối chóp $S.A_1A_2...A_n$ có $V=dfrac2S_SA_1A_2.S_A_1A_2...A_n.sin left( (SA_1A_2),(A_1A_2...A_n) ight)3A_1A_2.$

Công thức 7: Khối tứ diện lúc biết những góc tại cùng một đỉnh

Khối chóp $S.ABC$ tất cả $SA=a,SB=b,SC=c,widehatBSC=alpha ,widehatCSA=eta ,widehatASA=gamma .$

Khi kia $V=dfracabc6sqrt1+2cos alpha cos eta cos gamma -cos ^2alpha -cos ^2eta -cos ^2gamma .$

*

Ví dụ 1:Khối tứ diện $ABCD$ tất cả $AB=5,CD=sqrt10,AC=2sqrt2,BD=3sqrt3,AD=sqrt22,BC=sqrt13$ rất có thể tích bằng

A. $20.$

B. $5.$

C. $15.$

D. $10.$

Giải.

Xem thêm: “ Chả Cá English - Các Món Ăn Việt Nam Trong Tiếng Anh

Tứ diện này còn có độ dài tất cả các cạnh ta tính các góc trên một đỉnh rồi vận dụng công thức thể tích khối tứ diện dựa vào 3 góc khởi nguồn từ cùng 1 đỉnh:

Có $left{ egingatheredhfill cos widehatBAD=dfracAB^2+AD^2-BD^22AB.AD=sqrtdfrac211 \ hfill cos widehatDAC=dfracAD^2+AC^2-CD^22AD.AC=dfrac52sqrt11 \ hfill cos widehatCAB=dfracAC^2+AB^2-BC^22AC.AB=dfrac1sqrt2 \ endgathered ight..$

Vì vậy $V_ABCD=dfrac16.5.2sqrt2.sqrt22sqrt1+2sqrtdfrac211dfrac52sqrt11dfrac1sqrt2-left( sqrtdfrac211 ight)^2-left( dfrac52sqrt11 ight)^2-left( dfrac1sqrt2 ight)^2=5.$

Chọn câu trả lời B.

*