Ta thấy ở nhì ví dụ trên đều phải có
Bạn đang xem: Nguyên hàm cosx
Ký hiệu:
VD:
b) Tính chất
•
•
•
•
2. Bảng nguyên hàm của một số hàm số thường xuyên gặp
3. Những phương pháp
Phương pháp 1. Áp dụng cách làm nguyên hàm cơ bản
Ví dụ 1. Tìm các nguyên hàm:
• x$I=intx^8dx=frac19x^9+C$
.• $I=intfracdxx^5=intx^-5dx=frac1-5+1x^-5+1+C=-frac14x^-4+C$
•$I=intfracdx2x=frac12int+C$
• $I=int an 2xdx=intfracsin 2xcos 2xdx=-frac12int cos 2x ight$
• $I=intsin x.cos ^4xdx=-intcos ^4xdleft( cos x ight)=-frac15cos ^5x+C$
• $I=intfracsin x+cos xsin x-cos xdx=intfracdleft( sin x-cos x ight)sin x-cos x=ln left| sin x-cos x ight|+C$
• $I=intfrace^xdxe^x+1=intfracdleft( e^x+1 ight)e^x+1=ln left| e^x+1 ight|+C$
Phương pháp 2. Phương pháp đổi biến
a) những dạng đổi vươn lên là số thường xuyên gặp
b) Ví dụ
• $I=intsqrtx^2004+1.x^2003dx$
Đặt $t=x^2004+1Rightarrow dt=2004x^2003dxRightarrow x^2003dx=frac12004dt$. Từ đó ta được:
$I=frac12004intsqrttdt=frac12004intt^frac12dt=frac12004.frac23t^frac32+C$
$=frac13006sqrtt^3+C=frac13006sqrtleft( x^2004+1 ight)^3+C$
• $I=intx^2left( 1-x ight)^10dx$
Đặt $1-x=tRightarrow dx=-dt$. Từ đó ta được:
$O=intleft( 1-t ight)^2t^10left( -dt ight)=-intleft( 1-2t+t^2 ight).t^10dt=-intt^10dt+2intt^11dt-intt^12dt$
$,,,,,=-frac111t^11+frac16t^12-frac113t^13+C=-frac111left( 1-x ight)^11+frac16left( 1-x ight)^12-frac113left( 1-x ight)^13+C$
• $I=intfracsin x.cos ^3x1+cos ^2xdx=frac12intfrac2sin xcos x.cos ^2x1+cos ^2xdx=frac12intfraccos ^2x1+cos ^2x.sin 2xdx$
Đặt $1+cos ^2x=tRightarrow sin 2xdx=-dt$
$Rightarrow S=frac12fract-1tleft( -dt ight)=-frac12intdt+frac12intfracdtt=-frac12t+frac12ln left$
Phương pháp 3. Phương thức nguyên hàm từng phần
a) nội dung phương pháp
Phương pháp này hay được áp dụng khi ta bắt buộc tính nguyên hàm của một tích. đưa sử bắt buộc tính $I=intf_1left( x ight).f_2left( x ight)dx$, ta làm cho như sau:
b) Chú ý
Thứ trường đoản cú ưu tiên để $u$ trong phương pháp Nguyên hàm từng phần:
Lôgarít $ o $ Đa thức $ o $ các chất giác $ o $ Hàm mũ
c) Ví dụ
•$I=intx extsin2xdx$
$Rightarrow I=-frac12xcos 2x+frac12intcos 2xdx=-frac12xcos 2x+frac14sin 2x+C$
•$I=intxcos ^22xdx=intx.frac1+cos 4x2dx=frac12intxdx+intfrac12xcos 4xdx=frac14x^2+I_1$
Tính $I_1=intfrac12xcos 4xdx$.
$Rightarrow I_1=frac18xsin 4x-frac18intsin 4xdx=frac18xsin 4x+frac132cos 4x+C$
Từ đó: $I=frac14x^2+frac18xsin 4x+frac132cos 4x+C$
•$I=intfracxln left( x+sqrtx^2+1 ight)sqrtx^2+1dx$
Ta được $I=sqrtx^2+1ln left( x+sqrtx^2+1 ight)-x+C$
•$I=intln ^2left( x+sqrtx^2+1 ight)dx$
$=xln ^2left( x+sqrtx^2+1 ight)-2sqrtx^2+1.ln left( x+sqrtx^2+1 ight)+2x+C$
•$I=intleft( fracln xx ight)^2dx$. Ta gồm $I=intfracln ^2xx^2dx$.
Ta được $I=-frac1xln x-frac1x+C$
Phương pháp 4. Phối hợp đổi vươn lên là số và phương thức nguyên hàm từng phần
•$I=intsin sqrtxdx$
Đặt $sqrtx=tRightarrow x=t^2Rightarrow dx=2tdtRightarrow I=intsin t.left( 2tdt ight)=int2tsin tdt$
Vậy $I=2sin sqrtx-2sqrtxcos sqrtx+C$
•$I=intsin left( ln x ight)dx$.
Từ đó $I=inte^tsin tdt=fracxleft< sin left( ln x ight)-cos left( ln x ight) ight>2+C$
•$I=intx^8e^x^3dx$.
Từ kia $I=frac13intt^2e^tdt=frac13left( x^6-2x^3+2 ight)e^x^3+C$
•$I=inte^sqrtxdx$.
Phương pháp 5. Kiếm tìm nguyên hàm bằng phương pháp dùng nguyên hàm phụ
Giả sử nên tính $I=intfleft( x ight)dx$. Lúc đó ta tìm kiếm nguyên hàm phụ $J=intgleft( x ight)dx$ làm sao để cho việc tính $I+J$ và $I-J$ đơn giản hơn. Chẳng hạn:
• $I=intfracsin xsin x+cos xdx$
Ta hoàn toàn có thể xét $J=intfraccos xsin x+cos xdx$
Khi đó:
$I+J=intfracsin x+cos xsin x+cos xdx=intdx=x+C$
$I-J=intfracsin x-cos xsin x+cos xdx=-intfracdleft( sin x+cos x ight)sin x+cos x=-ln left| sin x+cos x ight|+C$
Từ kia suy ra: $2I=x-ln left| sin x+cos x ight|+CRightarrow I=frac12left( x-ln left| sin x+cos x ight| ight)+C$
• $I=intfrac4sin xleft( sin x+cos x ight)^3dx$
Ta hoàn toàn có thể xét $J=intfrac4cos xleft( sin x+cos x ight)^3dx$
Khi đó:
$I+J=4intfracsin x+cos xleft( sin x+cos x ight)^3dx=4intfracdxleft( sin x+cos x ight)^2=4intfracdxleft< sqrt2sin left( x+fracpi 4 ight) ight>^2$
$=2intfracdleft( x+fracpi 4 ight)sin ^2left( x+fracpi 4 ight)=-2cot left( x+fracpi 4 ight)+C$
$I-J=4intfracsin x-cos xleft( sin x+cos x ight)^3dx=-4intfracdleft( sin x+cos x ight)left( sin x+cos x ight)^3=2left( sin x+cos x ight)^-2+C$
Từ kia suy ra:
$2I=-2cot left( x+fracpi 4 ight)+2left( sin x+cos x ight)^-2+CRightarrow I=frac1left( sin x+cos x ight)^2-cot left( x+fracpi 4 ight)+C$
B. Bài xích tập tự luyện
Câu 1: Tìm $int(x^3-2x)dx$
A. <3x^2-2+C> B.
C.
Câu 2: Tìm $int(sin x+cos 3x),dx$
A.
C. <-cos x-frac13sin 3x+C> D. <-cos x+frac13sin 3x+C>
Câu 3: Tìm $intleft( 5e^3x-frac16x+7 ight),dx$
A.
C.
Câu 4: Tìm $intsqrtxdx$
A.
C. $frac32xsqrtx+C$ D.
Câu 5: Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x)=sin ^2x$
A. $intf(x)dx=frac12x+frac14sin ,2x+C$ B.
C.
Câu 6: Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x)=cos x.cos 3x$
A. $intf(x)dx=-frac18sin ,4x-frac14sin ,2x+C$ B.
C.
Câu 7: Cho
A.
C.
Câu 8: Tìm $int(x+1)e^x^2+2xdx$
A. <2(x+1)e^x^2+2x+C> B.
C.
Câu 9: Khẳng định nào sau đây sai ?
A.
C.
Câu 10: Khẳng định nào dưới đây đúng?
A.
C.
Câu 11: Tìm nguyên hàm của hàm số $y=f(x)=frac3cos ^2(2x-1)$
A.
C. <-3 an (2x-1)+C> D. <-frac32cot (2x-1)+C>
Câu 12: $int2e^xleft( e^x-1 ight)^4dx=fracmn(e^x-1)^k+C$. Khi đó
A.
Xem thêm: Trong Các Dung Dịch Sau : Na2So4 Là Chất Điện Li Mạnh Hay Yếu ? 2021
m + n + k = 5 B. m + n + k = 7
C. m + n + k =12 D. m + n + k = 16
Câu 13: $intxsin 2xdx=fracm2xcos 2x+fracsin 2xn+C$. Khi đó
A. 2m + n = 0 B. 2m + n = 2 C. 2m + n =6 D. 2m + n = 8
Câu 14: $intleft( x+3 ight)e^-2xdx=frac-1me^-2x(2x+n)+C$. Lúc đó