Tổng hợp kỹ năng và kiến thức cần nuốm vững, những dạng bài bác tập và thắc mắc có năng lực xuất hiện tại trong đề thi HK2 Toán học 10 sắp đến tới


Phần 1

BẤT ĐẲNG THỨC BẤT PHƯƠNG TRÌNH

1. Bất phương trình cùng hệ bất phương trình

Các phép biến hóa bất phương trình:

a) Phép cộng: Nếu f(x) xác định trên D thì P(x) 0, (forall )x ( in ) D thì P(x) Q(x).f(x)

c) Phép bình phương: Nếu P(x) ( ge )0 và Q(x) ( ge )0, (forall )x ( in ) D thì P(x) 0 ta có:

(left| f(x) ight| le a Leftrightarrow - a le f(x) le a)

(left| f(x) ight| ge a Leftrightarrow left< eginarraylf(x) le - a\f(x) ge aendarray ight.)

3. Phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

a. Biểu diễn hình học tập nghiệm của bất phương trình ax + by ( le c) (1) ((a^2 + b^2)( e 0))

Bước 1: trong mp Oxy, vẽ đường thẳng ((Delta )): ax + by ( = c)

Bước 2: Lấy (M_o(x_o;y_o) otin (Delta )) (thường lấy (M_o equiv O))

Bước 3: Tính axo + byo và so sánh axo + byo và c.

Bạn đang xem: Kiến thức trọng tâm toán lớp 10

Bước 4: Kết luận

Nếu axo + byo o là miền nghiệm của ax + by ( le c)

Nếu axo + byo > c thì nửa mp bờ ((Delta )) ko chứa Mo là miền nghiệm của ax + by ( le c)

b. Bỏ bờ miền nghiệm của bpt (1) ta được miền nghiệm của bpt ax + by c)được xác định tương tự.

c. Biểu diễn hình học tập nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất 2 ẩn:

Với mỗi bất phương trình trong hệ, ta xác định miền nghiệm của nó và gạch bỏ miền còn lại.

Sau khi làm như trên lần lượt đối với tất cả các bpt vào hệ trên cùng một mp tọa độ, miền còn lại không bị gạch chính là miền nghiệm của hệ bpt đã cho.

4. Vết của tam thức bậc hai

a. Định lí về dấu của tam thức bậc hai:

Cho tam thức bậc nhì f(x) = ax2 + bx + c, a( e )0, (Delta )= b2 – 4ac

* nếu như (Delta )0), (forall )x( in )R

* trường hợp (Delta )= 0 thì f(x) thuộc dấu với thông số a (a..f(x)>0), (forall )x( e )(frac - b2a)

* nếu (Delta )> 0 thì f(x) thuộc dấu với hệ số a lúc x 1 hoặc x > x2; f(x) trái vệt với thông số a khi x1 2. (Với x1, x2 là hai nghiệm của f(x) cùng x12)

Bảng xét dấu: f(x) = ax2 + bx + c, a( e )0, (Delta )= b2– 4ac > 0

*

b. Lốt của nghiệm số

Cho f(x) = ax2 + bx + c, a( e )0

a) ax2 + bx + c = 0 gồm nghiệm ( Leftrightarrow )(Delta )= b2– 4ac ( ge )0

b) ax2 + bx + c = 0 tất cả 2 nghiệm trái lốt ( Leftrightarrow )a.c 2 + bx + c = 0 có 2 nghiệm thuộc dấu ( Leftrightarrow left{ eginarraylDelta > 0\a.c > 0endarray ight.)

c) ax2 + bx + c = 0 có các nghiệm dương ( Leftrightarrow )(left{ eginarraylDelta ge 0\P = x_1x_2 = fracca > 0\S = x_1 + x_2 = - fracba > 0endarray ight.)

d) ax2 +bx +c = 0 có các nghiệm âm ( Leftrightarrow )(left{ eginarraylDelta ge 0\P = x_1x_2 = fracca > 0\S = x_1 + x_2 = - fracba Chú ý: dấu của tam thức bậc hai luôn luôn thuộc dấu với thông số a lúc (Delta 2 +bx +c >0, (forall )x ( Leftrightarrow )(left{ eginarrayla > 0\Delta 2 +bx +c 2 +bx +c ( ge )0, (forall )x ( Leftrightarrow )(left{ eginarrayla > 0\Delta le 0endarray ight.)

iv) ax2 +bx +c ( le )0, (forall )x ( Leftrightarrow )(left{ eginarrayla 0 (Hoặc f(x) ( ge )0, f(x) 2 + bx + c, a( e )0 )

b. Bí quyết giải:

Để giải bất pt bậc hai, ta áp dụng định lí vầ vết tam thức bậc hai

Bước 1: Đặt vế trái bằng f(x), rồi xét vết f(x)

Bước 2: phụ thuộc bảng xét dấu với chiều của bpt để tóm lại nghiệm của bpt


Phần 2

GÓC VÀ CUNG LƯỢNG GIÁC

1. Những hệ thức lượng giác cơ bản

(eginarrayl1)sin ^2alpha + cos ^2alpha = 1\2) an alpha = fracsin alpha cos alpha left( alpha e fracpi 2 + kpi ight)\3)cot alpha = fraccos alpha sin alpha left( alpha e kpi ight)endarray)

(eginarrayl4)1 + an ^2alpha = frac1cos ^2alpha (alpha e fracpi 2 + kpi )\5)1 + cot ^2alpha = frac1sin ^2alpha (alpha e kpi )\6) an alpha .cot alpha = 1(alpha e frackpi 2)endarray)

2. Giá trị lượng giác của góc (cung) có liên quan đặc biệt

(eginarraylsin alpha = sin left( alpha + k2pi ight)\cos alpha = cos left( alpha + k2pi ight)endarray)

(eginarrayl an alpha = an left( alpha + kpi ight)\cot alpha = cot left( alpha + kpi ight)endarray)

+) Góc đối nhau ((alpha ) và ( - alpha ))

(cos ( - alpha ),, = ,,cos alpha )

(sin ( - alpha ),, = ,, - sin alpha )

( an ( - alpha ),, = ,, - an alpha )

(cot ( - alpha ),, = ,, - cot alpha )

+) Góc bù nhau ((alpha ) và (pi - alpha ))

(sin (pi - alpha ),, = ,,sin alpha )

(cos (pi - alpha ),, = ,, - cos alpha )

( an (pi - alpha ),, = ,, - an alpha )

(cot (pi - alpha ),, = ,, - cot alpha )

+) Góc phụ nhau((alpha ) và (fracpi 2 - alpha ))

(sin left( fracpi 2 - alpha ight),, = ,,,cos alpha )

(cos left( fracpi 2 - alpha ight),, = ,,,sin alpha )

( an left( fracpi 2 - alpha ight),, = ,,,cot alpha )

(cot left( fracpi 2 - alpha ight),, = ,,, an alpha )

*

3. Cách làm cộng

(eginarraylsin (a + b) = sin a.cos b + sin b.cos a\sin (a - b) = sin a.cos b - sin b.cos a\cos (a + b) = cos a.cos b - sin a.sin b\cos (a - b) = cos a.cos b + sin a.sin bendarray)

(eginarrayl an (a + b) = frac an a + an b1 - an a. an b\ an (a - b) = frac an a - an b1 + an a. an bendarray)

4. Bí quyết nhân đôi, hạ bậc

a) phương pháp nhân đôi

(sin 2alpha = 2sin alpha .cos alpha )

(eginarraylcos 2alpha \ = cos ^2alpha - sin ^2alpha ,\ = 2cos ^2alpha - 1\ = ,,1 - 2sin ^2alpha endarray)

( an 2alpha ,, = ,,frac2 an alpha 1 - an ^2alpha )

b) công thức hạ bậc

(eginarraycsin ^2alpha ,, = ,,frac1 - cos 2alpha 2\cos ^2alpha , = ,,frac1 + cos 2alpha 2\ an ^2alpha , = ,,frac1 - cos 2alpha 1 + cos 2alpha endarray)

5. Công thức thay đổi tích thành tổng

(eginarraylcos acos b = frac12left< cos (a + b) + cos (a - b) ight>\sin asin b = - frac12left< cos (a + b) - cos (a - b) ight>\sin acos b = frac12left< sin (a + b) + sin (a - b) ight>endarray)

6. Công thức biển thay đổi tổng thành tích

(eginarraylcos a + cos b = 2cos fraca + b2.cos fraca - b2\cos a - cos b = - 2sin fraca + b2.sin fraca - b2\sin a + sin b = 2sin fraca + b2.cos fraca - b2\sin a - sin b = 2cos fraca + b2.sin fraca - b2endarray)

(eginarrayl an a + an b = fracsin (a + b)cos a.cos b\ an a - an b = fracsin (a - b)cos a.cos b\cot a + cot b = fracsin (a + b)sin a.sin b\cot a - cot b = fracsin (b - a)sin a.sin bendarray)


Phần 3

HÌNH HỌC

1. Hệ thức lượng vào tam giác

a. Các hệ thức lượng vào tam giác

Cho tam giác ABC tất cả BC = a, AC = b, AB = c, trung tuyến đường AM = (m_a), BN = (m_b), CP = (m_c)

Định lý cosin

a2 = b2 + c2 – 2bc.cosA;

b2 = a2 + c2 – 2ac.cosB;

c2 = a2 + b2 – 2ab.cosC

Hệ quả:

cosA = (fracb^2 + c^2 - a^22bc)

cosB = (fraca^2 + c^2 - b^22ac)

cosC = (fraca^2 + b^2 - c^22ab)

Định lý sin

(fracasin A = fracbsin B = fraccsin C)= 2R

(với R là bán kính đường tròn nước ngoài tiếp tam giác ABC )

b. Độ dài đường trung tuyến của tam giác

(m_a^2 = fracb^2 + c^22 - fraca^24 = frac2(b^2 + c^2) - a^24);

(m_b^2 = fraca^2 + c^22 - fracb^24 = frac2(a^2 + c^2) - b^24)

(m_c^2 = fracb^2 + a^22 - fracc^24 = frac2(b^2 + a^2) - c^24)

c. Các công thức tính diện tích tam giác

S = (frac12)aha = (frac12)bhb  = (frac12)chc

S = (frac12)ab.sinC = (frac12)bc.sinA = (frac12)ac.sinB

S = (fracabc4R)

S = pr

S = (sqrt p(p - a)(p - b)(p - c) ) với (p = frac12(a + b + c) )

2. Phương trình mặt đường thẳng

* Để viết được phương trình đường thẳng dạng tham số nên biết được toạ độ 1 điểm và 1 vectơ chỉ phương

* Để viết được phương trình con đường thẳng dạng tổng quát cần phải biết được toạ độ 1 điều và 1 vectơ vạc tuyến

a. Phương trình tham số của đường thẳng d

(left{ eginarray*20cx = x_0 + tu_1\y = y_0 + tu_2endarray ight.) cùng với M ((x_0;y_0))(in d) và (vec u = (u_1;u_2)) là vectơ chỉ phương (VTCP)

b. Phương trình bao quát của mặt đường thẳng d

a(x – (x_0)) + b(y – (y_0)) = 0 hay ax + by + c = 0

(với c = – a(x_0)– b(y_0) và a2 + b2 ( e) 0) trong kia M ((x_0;y_0)) (in d) với (vec n = (a;b)) là vectơ pháp đường (VTPT)

+) Phương trình đường thẳng cắt hai trục tọa độ tại nhị điểm A(a; 0) với B(0; b) với (ab e 0) là: (fracxa + fracyb = 1)

+) Phương trình con đường thẳng trải qua điểm M ((x_0;y_0)) có hệ số góc k  có dạng: y – (y_0)= k (x – (x_0))

c. Khoảng cách từ mội điểm M ((x_0;y_0)) cho đường thẳng d: ax + by + c = 0 được tính theo công thức:

d(M; d) = (frac ax_0 + bx_0 + c ightsqrt a^2 + b^2 )

d. Vị trí kha khá của hai tuyến đường thẳng

(Delta _1): (a_1x + b_1y + c_1)= 0

(Delta _2): (a_2x + b_2y + c_2)= 0

(Delta _1) cắt (Delta _2)( Leftrightarrow ) (fraca_1a_2 e fracb_1b_2);

Tọa độ giao điểm của (Delta _1)và (Delta _2) là nghiệm của hệ (left{ eginarrayla_1x + b_1y + c_1 m = 0\a_2x + b_2y + c_2 m = 0 endarray ight.)

(Delta _1)//(Delta _2)( Leftrightarrow )(fraca_1a_2 = fracb_1b_2 e fracc_1c_2)

(Delta _1)( equiv )(Delta _2)( Leftrightarrow )(fraca_1a_2 = fracb_1b_2 = fracc_1c_2) (với (a_2),(b_2),(c_2)khác 0)

3. Đường tròn

a. Phương trình mặt đường tròn tâm I(a; b) bán kính R gồm dạng:

(x – a)2 + (y – b)2 = R2 (1)

hay x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0 (2)

với c = a2 + b2 – R2

+) Với điều kiện a2 + b2 – c > 0 thì phương trình x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0 là phương trình con đường tròn trung ương I(a; b) nửa đường kính R

+) Vị trí tương đối của con đường thẳng và mặt đường tròn

d cắt ( C ) ( Leftrightarrow ) d(I; d) R

d tiếp xúc với ( C ) ( Leftrightarrow ) d(I; d) = R

b. Phương trình tiếp con đường với con đường tròn

Dạng 1: Điểm A thuộc mặt đường tròn

Dạng 2: Điểm A không thuộc đường tròn

Dạng 3: Biết phương trình tiếp tuyến đường của con đường tròn vuông góc hay song song với cùng 1 đường thẳng nào đó

4. Phương trình Elip

a.

Xem thêm: Anodizing Là Gì ? Công Nghệ Anod Nhôm Trong Chế Tạo Đồ Gia Dụng

trong mặt phẳng Oxy đến 2 điểm F1(-c; 0), F2(c; 0) và một số a (a > c > 0, a = const).

Elip (E) là tập hợp các điểm M: F1M + F2M = 2a. Tốt (E) =( M/F_1M + F_2M = 2a )

b. Phương trình chính tắc của elip (E) là: (fracx^2a^2 + fracy^2b^2 = 1) (a2 = b2 + c2)

c. Các thành phần của elip (E) là:

Hai tiêu điểm: F1(-c; 0), F2(c; 0)

Bốn đỉnh: A1(-a; 0), A2(a; 0), B1(0;-b), B2(0;b)

Độ dài trục lớn: A1A2 = 2a

Độ dài trục nhỏ: B1B2 = 2b

Tiêu cự F1F2 = 2c

d. Hình dạng của elip (E)

+) (E) có 2 trục đối xứng là Ox, Oy và có trọng tâm đối xứng là gốc tọa độ

+) Mọi điểm của (E) ngoại trừ 4 đỉnh đều nằm trong hình chữ nhật có kích thước 2a và 2b giới hạn bởi các đường thẳng x = ( pm )a, y = ( pm )b