Định lí: vào một tam giác bất kì, bình phương một cạnh bởi tổng những bình phương của nhị cạnh sót lại trừ đi nhị lần tích của nhị cạnh đó nhân với (cosin) của góc xen giữa chúng.

Bạn đang xem: Hệ thức lượng giác trong tam giác vuông

Ta có các hệ thức sau:

$$eqalign & a^2 = b^2 + c^2 - 2bc.cos A , , (1) cr & b^2 = a^2 + c^2 - 2ac.cos B , , (2) cr & c^2 = a^2 + b^2 - 2ab.cos C , , (3) cr $$

Hệ quả của định lí cosin:

(cos A = dfracb^2+c^2-a^22bc)

(cos B = dfraca^2+c^2-b^22ac)

(cos C = dfraca^2+b^2-c^22ab)

Áp dụng: Tính độ dài mặt đường trung tuyến của tam giác:

Cho tam giác (ABC) có những cạnh (BC = a, CA = b) với (AB = c). điện thoại tư vấn (m_a,m_b) và (m_c) là độ dài các đường trung con đường lần lượt vẽ từ những đỉnh (A, B, C) của tam giác. Ta có

(m_a^2) = (dfrac2.(b^2+c^2)-a^24)

(m_b^2) = (dfrac2.(a^2+c^2)-b^24)

(m_c^2) = (dfrac2.(a^2+b^2)-c^24)

2. Định lí sin

Định lí: vào tam giác (ABC) bất kỳ, tỉ số thân một cạnh và sin của góc đối diện với cạnh đó bằng đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác, nghĩa là

(dfracasin A= dfracbsin B = dfraccsin C = 2R)

với (R) là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác 

Công thức tính diện tích tam giác

Diện tích (S) của tam giác (ABC) được tính theo một trong các công thức sau


(S = dfrac12 ab sin C= dfrac12 bc sin A ) (= dfrac12ca sin B , ,(1))

(S = dfracabc4R, ,(2))

(S = pr, ,(3))

(S = sqrtp(p - a)(p - b)(p - c)) (công thức Hê - rông) ((4))

Trong đó:(BC = a, CA = b) cùng (AB = c); (R, r) là nửa đường kính đường tròn nước ngoài tiếp, bk mặt đường tròn nội tiếp với (S) là diện tích tam giác đó.

3. Giải tam giác và ứng dụng vào việc đo đạc

Giải tam giác : Giải tam giác là đi tìm các nguyên tố (góc, cạnh) chưa biết của tam giác khi đã biết một số trong những yếu tố của tam giác đó.

Muốn giải tam giác ta đề xuất tìm mối contact giữa những góc, cạnh đã cho với các góc, những cạnh không biết của tam giác thông qua các hệ thức đã có được nêu trong định lí cosin, định lí sin và những công thức tính diện tích s tam giác.

Các việc về giải tam giác: gồm 3 câu hỏi cơ bạn dạng về gỉải tam giác:

a) Giải tam giác khi biết một cạnh cùng hai góc.

=> sử dụng định lí sin để tính cạnh còn lại.

b) Giải tam giác lúc biết hai cạnh cùng góc xen giữa

=> cần sử dụng định lí cosin nhằm tính cạnh thiết bị ba. 

Sau đó dùng hệ trái của định lí cosin để tính góc.

Xem thêm: Toán Hoá Anh Ngoại Thương - Khối Toán Hóa Anh Nên Học Ngành Gì

c) Giải tam giác khi biết ba cạnh

Đối với việc này ta sử dụng hệ trái của định lí cosin để tính góc: 

(cos A = dfracb^2+c^2-a^22bc)

(cos B = dfraca^2+c^2-b^22ac)

(cos C = dfraca^2+b^2-c^22ab)

Chú ý: 

1. Cần lưu ý là một tam giác giải được khi ta biết 3 yếu tố của nó, trong những số đó phải có ít nhất một yếu tố độ dài (tức là nguyên tố góc không được vượt 2)

2. Bài toán giải tam giác được sử dụng vào những bài toán thực tế, độc nhất vô nhị là những bài toán đo đạc.