Hệ phương trình sang trọng là một dạng hệ phương trình thường gặp gỡ trong công tác Toán 9 và Toán 10. Vậy hệ phương trình quý phái là gì? tư tưởng về hệ phương trình quý phái bậc 2? giải pháp giải hệ phương trình đẳng cấp?…. Vào nội dung bài viết dưới đây, x-lair.com để giúp bạn tổng hợp kiến thức và kỹ năng về chủ đề này nhé!
Bạn đang xem: Hệ phương trình đẳng cấp ôn thi vào chuyên toán
Hệ phương trình đẳng cấp là gì?
Hệ phương trình sang trọng là hệ bao gồm ( 2 ) phương trình ( 2 ) ẩn nhưng mà ở từng phương trình thì bậc của từng ẩn là bẳng nhau :
(left{eginmatrix f(x;y)=a_1\ g(x;y)=a_2 endmatrix ight.) cùng với ( f,g ) là những hàm số gồm bậc của hai biến chuyển ( x;y ) bởi nhau
Ví dụ:
(left{eginmatrix x^2+3xy-2y^2=3\ x^2-xy+y^2=4 endmatrix ight.)
Ở ví dụ như trên thì đấy là hệ phương trình sang trọng bậc ( 2 )
Cách giải hệ phương trình đẳng cấp
Bài toán: Giải phương trình
(left{eginmatrix f(x;y)=a_1\ g(x;y)=a_2 endmatrix ight.) cùng với ( f,g ) là những hàm số bao gồm bậc của hai trở nên ( x;y ) bằng nhau
Nhìn thông thường để giải phương trình sang trọng thì họ tiến hành quá trình sau đây:
Bước 1: Nhân phương trình bên trên với ( a_2 ) cùng phương trình bên dưới với ( a_1 ) rồi trừ nhị phương trình để làm mất hệ số tự doBước 2: Đặt ( x=ky ). Cầm vào phương trình ở bước 1 ta được phương trình bao gồm dạng :( y^n(Ak^2+Bk+C) =0 )Bước 3: Giải phương trình trên bằng cách chia hai trường hợp (left<eginarrayl y=0\y eq 0 endarray ight.). Với trường đúng theo ( y eq 0 ) thì giải ra ( k )Bước 4: thế ( x=ky ) vào trong 1 trong nhị phương trình, giải ra ( y ) rồi từ kia giải ra ( x )Ví dụ:
Giải hệ phương trình :
(left{eginmatrix x^2-y^2=3\ x^2-2xy+y^2=1 endmatrix ight.)
Cách giải:
Phương trình sẽ cho tương đương với :
(left{eginmatrix x^2-y^2=3\ 3x^2-6xy+3y^2=3 endmatrix ight.)
Trừ hai vế nhì phương trình ta được :
( 2x^2+4y^2-6xy =0 )
Đặt ( x=ky ). Nuốm vào phương trình bên trên ta được :
( 2k^2y^2+4y^2-6ky^2=0 )
(Leftrightarrow 2y^2(k^2-3k+2)=0 ;;;;; (1) )
Trường thích hợp ( y=0 )Thay vào hệ ta được:
(left{eginmatrix x^2=3\ x^2=1 endmatrix ight. Rightarrow) vô lý ( các loại )
Trường hợp ( y eq 0 )Từ phương trình ( (1) Rightarrow k^2+3k-2 =0 )
(Leftrightarrow (k-1)(k-2)=0)
(Leftrightarrow left<eginarrayl k=1\ k=2 endarray ight.)
Nếu ( k=1 ) thay vào hệ phương trình ta được :
(left{eginmatrix 0=3\0=1 endmatrix ight. Rightarrow) vô lý ( nhiều loại )
Nếu ( k=2 ) nắm vào hệ phương trình ta được :
(left{eginmatrix 3y^2=3\y^2=1 endmatrix ight. Leftrightarrow y^2=1 Leftrightarrow y=pm 1)
Vậy hệ phương trình đã cho bao gồm hai cặp nghiệm là ( (x;y) =(2;1) ; (-2;-1) )
Giải hệ phương trình sang trọng bậc 2
Hệ phương trình đẳng cấp bậc ( 2 ) là hệ phương trình gồm dạng :
(left{eginmatrix a_1x^2+b_1xy+c_1y^2=d_1\ a_2x^2+b_2xy+c_2y^2=d_2 endmatrix ight.)
Đây là dạng toán thường chạm chán trong phần hệ phương trình quý phái lớp 9 thi tuyển sinh THPT. Để giải dạng bài này thì ngoại trừ cách trên ta rất có thể sử dụng một cách khác như sau :
Bước 1: Từ hai phương trình, nhân hệ số thích hợp để thông số của ( x^2 ) ở nhì phương trình là bằng nhau:Bước 2: Trừ nhị vế của nhị phương trình, ta được phương trình dạng :( Ay^2+Bxy=C )(Rightarrow x=fracC-Ay^2By)Bước 3: Thay vào một trong nhì phương trình rồi giải tìm ra ( x;y )Ví dụ:
Giải hệ phương trình :
(left{eginmatrix 2x^2-xy-y^2=8\ x^2+xy-3y^2=3 endmatrix ight.)
Cách giải:
Hệ phương trình đang cho tương tự với :
(left{eginmatrix 2x^2-xy-y^2=8\ 2x^2+2xy-6y^2=6 endmatrix ight.)
Trừ nhì vế nhì phương trình ta được :
( 5y^2-3xy =2 )
Nếu ( y=0 ) cụ vào hệ phương trình đã cho ta được:(left{eginmatrix 2x^2=8\x^2=3 endmatrix ight. Rightarrow) vô lý ( các loại )
Nếu ( y eq 0 ) thì ta có:(x= frac5y^2-23y)
Thay vào phương trình trước tiên ta được:
(2.(frac5y^2-23y)^2-y.frac5y^2-23y-y^2=8)
(Leftrightarrow 2(25y^4-20y^2+4)-3y^2(5y^2-2)-9y^4=72y^2)
(Leftrightarrow 26y^4 -106y^2+8=0)
(Leftrightarrow 2(y^2-4)(13y^2-1) =0)
(Leftrightarrow left<eginarrayl y^2=4\y^2=frac113 endarray ight.)
Thay vào ta được : hệ phương trình vẫn cho tất cả ( 4 ) cặp nghiệm :
((x;y)= (3;2);(-3;-2); (-frac1112197;frac113);(frac1112197;-frac113))
Hệ phương trình phong cách lớp 10
Trong lịch trình toán 10 thì vấn đề hệ phương trình sẽ cải thiện hơn, yên cầu học sinh cần có thêm một vài ba kĩ năng biến đổi để xử lý.
Dạng bài biến hóa hệ phương trình về dạng hệ phương trình đẳng cấp
Trong những việc này, hệ phương trình ban đầu bài toán đưa ra sẽ không phải là rất nhiều phương trình đẳng cấp. Nhưng bọn họ sẽ trở nên đổi, đặt ẩn phụ để mang hệ đã cho phát triển thành hệ phương trình đẳng cấp
Ví dụ:
Giải hệ phương trình :
(left{eginmatrix x^2-y^2+2y=9\ x^2+xy+y^2-x-2y=12 endmatrix ight.)
Cách giải:
Ta sẽ thay đổi để gửi phương trình trên về dạng phương trình đẳng cấp
Phương trình vẫn cho tương tự với :
(left{eginmatrix x^2-(y^2-2y+1)=8\ x^2+x(y-1)+(y^2-2y+1)=13endmatrix ight.)
(Leftrightarrow left{eginmatrix x^2-(y-1)^2=8\ x^2+x(y-1)+(y-1)^2=13 endmatrix ight.)
Đặt ( z=y+1 ), phương trình vẫn cho trở nên :
(Leftrightarrow left{eginmatrix x^2-z^2=8\ x^2+xz+z^2=13 endmatrix ight. ;;;;; (1) )
Đây là phương trình đẳng cấp bậc ( 2 ) với nhị ẩn ( x;z )
Hệ phương trình trên tương tự với :
(Leftrightarrow left{eginmatrix 13x^2-13z^2=104\ 8x^2+8xz+8z^2=104 endmatrix ight.)
Trừ nhì vế của hai phương trình ta được :
(5x^2-8xz-21z^2=0)
Đặt ( x=tz ). Vắt vào ta được :
( z^2(5t^2-8t-21) =0 )
Nếu ( z=0 ) vậy vào hệ ( (1) ) ta được :
(left{eginmatrix x^2=8\ x^2=13 endmatrix ight. Rightarrow) vô lý ( một số loại )
Nếu ( z eq 0 ) thì ta gồm :
( 5t^2-8t-21 =0 )
(Leftrightarrow (5t+7)(t-3)=0)
(Leftrightarrow left<eginarrayl t=3\t=-frac57 endarray ight.)
Nếu ( t=3 ) , núm vào ta được :
(8z^2=8 Leftrightarrow z= pm 1)
(left<eginarrayl z=1 Rightarrow x=3; y=2\ z=-1 Rightarrow x=-3; y=0endarray ight.)
Nếu ( t=-frac57 ) cầm cố vào ta được :
(-frac2449z^2=8Leftrightarrow z^2=-frac493Rightarrow) vô lý ( các loại )
Vậy hệ phương trình vẫn cho bao gồm hai cặp nghiệm là ( (x;y) = ( 3;2) ; (-3;0) )
Dạng bài xích hệ phương trình gồm một phương trình đẳng cấp
Đây là các hệ phương trình mà trong đó có một phươn trình gồm dạng ( f(x;y) =0 ) cùng với ( f ) là phương trình hai ẩn ( x;y ) có bậc bởi nhau
Để giải bài toán này thì từ phương trình phong cách đó, chúng ta đặt ( x=ky ), giải ra ( k ) rồi ráng vào phương trình lắp thêm hai, tìm thấy ( x;y )
Ví dụ:
Giải hệ phương trình:
(left{eginmatrix x^2-3xy+2y^2=0\ sqrt5x-y-x=1 endmatrix ight.)
Cách giải:
ĐKXĐ: ( y leq 5x )
Dễ thấy giả dụ ( y=0 ) thì hệ phương trình đã mang lại vô nghiệm. Vậy ( y eq 0 )
Đặt ( x=ky ). Cụ vào phương trình đầu tiên ta được :
( y^2(k^2-3k+2) =0 )
Do ( y eq 0 ) yêu cầu (Rightarrow k^2-3k+2=0)
(Leftrightarrow (k-1)(k-2)=0 Leftrightarrow left<eginarrayl k=1\k=2 endarray ight.)
Nếu ( k=1 ) thay vào phương trình bên dưới ta được :
(2y-y=1Leftrightarrow y=1) cùng ( x=1 )
Nếu ( k=2 ) gắng vào phương trình bên dưới ta được :
(3y-2y=1Leftrightarrow y=1) và ( x=2 )
Vậy phương trình đã cho gồm hai cặp nghiệm ( (x;y) = (1;1) ; (2;1) )
Dạng bài bác hệ phương trình có tích nhị vế đẳng cấp
Đây là phần đông hệ phương trình bao gồm dạng:
(left{eginmatrix f_1(x;y)=f_2(x;y)\g_1(x;y)=g_2(x;y) endmatrix ight.) cùng với ( f_1;f_2;g_1;g_2 ) là những hàm số đẳng cấp thỏa mãn:
Bậc của ( f_1.g_1 ) bằng bậc của ( f_2.g_2 )
Để giải hệ phương trình này , ta nhân từng vế của hệ và để được một phương trình đẳng cấp:
( f_1(x;y).g_1(x;y) =f_2(x;y).g_2(x;y) )
Đến phía trên ta để ( x=ky ), ráng vào giải ra ( k ). Tiếp đến thay ( k ) vào hệ phương trình thuở đầu giải ra ( x;y )
Ví dụ:
Giải hệ phương trình :
(left{eginmatrix x^2+xy+y^2=3\ x^3+2y^3-2x-y=0 endmatrix ight.)
Cách giải:
Hệ phương trình đang cho tương tự với :
(left{eginmatrix x^2+xy+y^2=3\ x^3+2y^3=2x+y endmatrix ight.)
Nhân chéo cánh hai vế của hệ phương trình ta được :
( (2x+y)(x^2+xy+y^2) = 3(x^3+2y^3) )
(Leftrightarrow x^3-3x^2y-3xy^2+5y^3=0)
Dễ thấy giả dụ ( y=0 ) thì hệ đã cho vô nghiệm. Vậy phải ( y eq 0 )
Đặt ( x=ky ) . Ráng vào phương trình bên trên ta được :
( y^3(k^3-3k^2-3k+5)=0 )
Do ( y eq 0 ) buộc phải ( k^3-3k^2-3k+5=0 )
(Leftrightarrow (k-1)(k^2-2k-5)=0 Leftrightarrow left<eginarraylk=1 \ k=1-sqrt6\ k=1+sqrt6endarray ight.)
Nếu ( k=1 ) chũm vào ta được:(3y^2=3 Leftrightarrow y^2=1 Rightarrow x=y=1) hoặc ( x=y=-1 )
Nếu ( k=1-sqrt6 ) cố gắng vào ta được:(y^2frac3sqrt3sqrt2+sqrt3=3 Leftrightarrow y^2=fracsqrt2+sqrt3sqrt3)
Vậy ta tất cả hai cặp nghiệm :
((x;y)= (frac1-sqrt6sqrt3-sqrt6;frac1sqrt3-sqrt6);(fracsqrt6-1sqrt3-sqrt6;frac-1sqrt3-sqrt6))
Nếu ( k=1+sqrt6 ) cụ vào ta được:(y^2frac3sqrt3sqrt3-sqrt2=3 Leftrightarrow y^2=fracsqrt3-sqrt2sqrt3)
Vậy ta gồm hai cặp nghiệm:
((x;y)= (frac1+sqrt6sqrt3+sqrt6;frac1sqrt3-sqrt6);(-frac1+sqrt6sqrt3-sqrt6;-frac1sqrt3+sqrt6))
Vậy phương trình đang cho có 6 cặp nghiệm thỏa mãn:
( (x;y)=(1;1);(-1;-1); (frac1-sqrt6sqrt3-sqrt6;frac1sqrt3-sqrt6);(fracsqrt6-1sqrt3-sqrt6;frac-1sqrt3-sqrt6);(frac1+sqrt6sqrt3+sqrt6;frac1sqrt3-sqrt6);(-frac1+sqrt6sqrt3-sqrt6;-frac1sqrt3+sqrt6) )
Bài viết trên phía trên của x-lair.com đã giúp cho bạn tổng hợp kim chỉ nan và các cách thức giải hệ phương trình đẳng cấp.
Xem thêm: Thứ Tự Thực Hiện Các Phép Tính : Giải Bài & Luyện Tập Toán 6
Mong muốn những kiến thức trong bài viết sẽ góp ích cho bạn trong quy trình học tập và nghiên cứu chủ đề hệ phương trình đẳng cấp. Chúc bạn luôn học tốt!.
Tu khoa lien quan:
giải phương trình đẳng cấp và sang trọng lớp 9phương trình sang trọng bậc 2 lớp 10dấu hiệu nhận ra hệ phương trình đẳng cấp