Có không hề ít dạng toán giải hệ phương trình, như x-lair.com đã reviews với chúng ta về quá trình giải hệ phương trình đối xứng loại I, tốt hệ phương trình đối xứng các loại II.

Bạn đang xem: Hệ đẳng cấp bậc 2


Tiếp tục ngôn từ về hệ phương trình, bài bác này bọn họ sẽ tò mò hệ phương trình đẳng cấp là gì? bí quyết giải hệ phương trình phong cách bậc 2, bậc 3 như vậy nào?

1. Khái niệm phương trình đẳng cấp

- Hệ phương trình quý phái là hệ có 2 phương trình 2 ẩn mà lại ở từng phương trình bậc của từng ẩn bởi nhau:

 

*
 với f, g là những hàm số cùng với hai đổi thay x, y tất cả bậc bởi nhau.

* Ví dụ: Có hệ phương trình đẳng cấp và sang trọng bậc 2 như sau: 

2. Phương pháp giải hệ phương trình đẳng cấp

Cho hệ phương trình sang trọng dạng: 

*

• Để giải hệ phương trình đẳng cấp, chúng ta phải tiến hành cơ bản qua 3 cách sau:

+ cách 1: Nhân phương trình (1) cùng với a2 và phương trình (2) cùng với a1 rồi trừ nhị phương trình để triển khai mất thông số tự do;

+ cách 2: Phương trình có hai ẩn x và y. Xét hai trường hợp:

- Trường hợp 1: nếu x = 0 hoặc y = 0 ráng vào phương trình nhằm tìm ra y hoặc x. Thử lại công dụng vừa tra cứu được bằng phương pháp thay vào hệ phương trình;

- Trường phù hợp 2: ví như x khác 0 hoặc y khác 0, chia cả nhì vế của phương trình mang lại bậc tối đa của ẩn x hoặc y;

+ cách 3: Giải phương trình với ẩn x/y hoặc y/x rồi sau đó giải tra cứu nghiệm của hệ phương trình.

* ví dụ như 1: Giải hệ phương trình phong cách bậc 2 sau: 

> Lời giải:

- Nhân pt(2) ở bên dưới của hệ cùng với 2, ta được: 

*

- Trừ pt(2) đến pt(1) của hệ new này, ta được: 7y2 - 5xy = 0

 ⇔ y(7y - 5x) = 0

 ⇔ y = 0 hoặc 7y = 5x

+ TH1: với y = 0 ta núm vào pt(1) được 2x2 = 8 ⇔ x = ± 2.

 Hệ bao gồm nghiệm (x;y) = (2;0);(-2;0)

+ TH2: cùng với 5x = 7y ⇒ x= (7y)/5 thế vào pt(1) được: 

 

*

*

*

*

*

*

Kết luận: hệ gồm 4 cặp nghiệm.

* ví dụ như 2: Giải hệ phương trình đẳng cấp bậc 2 sau: 

*

> Lời giải:

- Nhân pt(2) ở dưới với 3 ta được hệ tương đương mới:

*

- Trừ vế cùng với vế hai phương trình của hệ trên được:

 2x2 + 4y2 - 6xy = 0 (3)

Xét trường hợp: x = 0 ta chũm vào pt(3) được: y = 0; ráng vào pt(1) hệ ban sơ thấy 0 = 3 (vô lý) ⇒ x = 0 không hẳn là nghiệm của hệ.

Chia nhì vế pt(3) cho x2 ta được:

 

*
 (4)

Đặt t = y/x ta được (4) tương đương: 4t2 - 6t + 2 = 0

 ⇔ 2t2 - 3t + 1 = 0⇔ t = 1 hoặc t = 1/2.

Xem thêm: Những Lời Chúc Mừng 20 11 Của Học Sinh, Lời Chúc 20

Với t = 1 ⇒ x = y vắt vào hệ pt ta được: 

*
 ⇒ vô lý (loại)

Với t = 1/2 ⇒ x = 2y thế vào hệ ta được:

*
*

Kết luận: Vậy hệ pt đã cho bao gồm 2 cặp nghiệp là: (x;y) = (2;1); (-2;-1)

* lấy một ví dụ 3: Giải hệ phương trình phong cách bậc 3 sau:

> Lời giải:

- Ta có:  

*

Trừ vế cùng với vế của pt(2) đến pt(1) ta được:

 x3 - 6xy2 + 4y3 = 0 (3)

- giả dụ y = 0 thay vào pt(3) ta được x = 0 nạm vào pt(1) ta thấy 0 = 18 (vô lý). Buộc phải y = 0 chưa hẳn là nghiệm của hệ.

- Vậy y ≠ 0, phân tách 2 vế của pt(3) mang lại y3 được:

 

*
 (4)

Đặt t = x/y thì pt(4) tương đương: t3 - 6t + 4 = 0

⇔ (t - 2)(t2 + 2t - 2) = 0

⇔ t = 2 hoặc t = -1 + √3 ≈ 0,732 hoặc t = -1 - √3 ≈ -2,732

+ với t = 2 suy ra x = 2y cố vào pt(1) ta được:

 8y3 + y 3 = 9 ⇔ 9y3 = 9 ⇔ y = 1 ⇒ x =2. Ta được cặp nghiệm (x;y) = (2;1)

+ cùng với t = -1 + √3 suy ra x ≈ 0,732y thay vào pt(1) với giải ta được: y ≈ 1,86285 ⇒ x ≈ 1,363606

+ cùng với t = -1 - √3 suy ra x = -2,732y thay vào pt(1) với giải ta được: y ≈ -0,77425 ⇒ x ≈ 2,115243