PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN HÀM SỐ BẬC NHẤT

A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM HÀM SỐ BẬC NHẤT

1. Định nghĩa hàm số bậc nhất: 

Hàm số số 1 là hàm số gồm dạng (y = ax + b,,left( a e 0 ight)) .

Bạn đang xem: Hàm số bậc 1

2. Sự biến thiên của hàm số bậc nhất:

+ Tập xác định: (D = R) 

+ Hàm số (y = ax + b,,left( a e 0 ight)) đồng trở nên khi (a > 0) cùng nghịch biến đổi khi (a

Vậy hàm số đề xuất tìm là (y = - 2x + 4).

d) Đường thẳng d  đi qua (Nleft( 2; - 1 ight)) nên ( - 1 = 2a + b).

Và (d ot d" Rightarrow 4.a = - 1 Leftrightarrow a = - frac14). Bởi vì đó: (b = - frac12).

Vậy hàm số bắt buộc tìm là (y = - frac14x - frac12).

Ví dụ 2. Cho hai tuyến phố thẳng (d:,,y = x + 2m) và (d":,,y = 3x + 2) (m là tham số).

a) chứng minh rằng hai tuyến đường thẳng d, d’ cắt nhau cùng tìm tọa độ giao điểm của chúng.

b) Tìm m để cha đường thẳng d, d’ và (d"":,,y = - mx + 2) rành mạch đồng quy.

Giải

a) Ta có (a_d = - 1 Rightarrow a_d" = 3) suy ra hai đường thẳng d, d’ cắt nhau.

Tọa độ giao điểm của hai tuyến đường thẳng d, d’ là nghiệm của hệ phương trình: (left{ eginarrayly = x + 2m\y = 3x + 2endarray ight. Leftrightarrow left{ eginarraylx = m - 1\y = 3m - 1endarray ight.)

Suy ra d d’ cắt nhau tại điểm (Mleft( m - 1;3m - 1 ight)).

b) Vì bố đường thẳng d, d’, d’’ đồng quy buộc phải (M in d""), vì đó:

(3m - 1 = - mleft( m - 1 ight) + 2 Leftrightarrow m^2 + 2m - 3 = 0 Leftrightarrow left< eginarraylm = 1\m = - 3endarray ight.)


+ Với (m = 1) ta có tía đường trực tiếp là (d:,,y = x + 2;,,d":,,y = 3x + 2;,,d"":,,y = - x + 2) riêng biệt và đồng quy tại (Mleft( 0;2 ight)). + Với (m = - 3) ta có (d" equiv d"") suy ra (m = - 3) không thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Vậy (m = 1) là giá trị đề nghị tìm.

Ví dụ 3. mang lại đường thẳng (d:,,y = left( m - 1 ight)x + m) với (d":,,left( m^2 - 1 ight)x + 6).

a) Tìm m để hai tuyến đường thẳng d, d’ song song với nhau.

b) Tìm m để mặt đường thẳng d cắt trục tung tại Ad’ cắt trục hoành trên B sao mang lại tam giác OAB cân tại O.

Giải

a)

+ Với (m = 1), ta gồm (d:,,y = 1;,,d":,,y = 6) do đó hai tuyến phố thẳng này tuy nhiên song với nhau.

+ Với (m = - 1) ta có (d:,,y = - 2x - 1;,,d":,,y = 6) suy ra hai tuyến phố thẳng này giảm nhau trên (Mleft( - frac72;6 ight))

+ Với (m e pm 1) khi đó hai đường thẳng bên trên là trang bị thị của hàm số số 1 nên tuy vậy song với nhau khi và chỉ khi (left{ eginarraylm - 1 = m^2 - 1\m e 6endarray ight. Leftrightarrow left{ eginarraylleft< eginarraylm = 1\m = 0endarray ight.\m e 6endarray ight. Leftrightarrow left< eginarraylm = 1\m = 0endarray ight.)


Đối chiếu cùng với điều kiện (m e pm 1) suy ra (m = 0.)

Vậy (m = 0)và (m = 1) là giá bán trị buộc phải tìm.

b) Ta bao gồm tọa độ điểm A là nghiệm của hệ (left{ eginarrayly = left( m - 1 ight)x + m\x = 0endarray ight. Leftrightarrow left{ eginarraylx = 0\y = mendarray ight. Rightarrow Aleft( 0;m ight))

Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ (left{ eginarrayly = left( m^2 - 1 ight)x + 6\y = 0endarray ight. Leftrightarrow left{ eginarraylleft( m^2 - 1 ight)x + 6 = 0\y = 0endarray ight.,,left( * ight))

Rõ ràng (m = pm 1) hệ phương trình (*) vô nghiệm.

Với (m e pm 1), ta có (left( * ight) Leftrightarrow left{ eginarraylx = frac61 - m^2\y = 0endarray ight. Rightarrow Bleft( frac61 - m^2;0 ight))

Do kia tam giác OAB cân tại O ( Leftrightarrow left| m ight| = left| frac61 - m^2 ight| Leftrightarrow left| m - m^3 ight| = 6 Leftrightarrow left< eginarraylm - m^3 = 6\m - m^3 = - 6endarray ight. Leftrightarrow m = pm 2,,left( tm ight))


Vậy (m = pm 2) là giá trị phải tìm.

Dạng toán 2. Xét sự phát triển thành thiên và vẽ đồ thị của hàm số bậc nhất.

Ví dụ 4. Lập bảng biến hóa thiên và vẽ trang bị thị của những hàm số sau:

a) (y = 3x + 6) b) (y = - frac12x + frac32)

Giải

a) Tập xác định (D = R).

Vì (a = 3 > 0) suy ra hàm số đồng biến đổi trên R .

Bảng đổi mới thiên:

 

*

Đồ thị hàm số (y = 3x + 6) đi qua (Aleft( - 2;0 ight);,,Bleft( - 1;3 ight)).

 

*

b) Tập xác định (D = R)

Vì (a = - frac12

Đường thẳng (y = - 2) song tuy nhiên với trục hoành và giảm trục tung tại điểm gồm tung độ bằng -2.

 

*

b) Đường thẳng (y = 2x - 3;,,y = - x - 3) cắt nhau tại (Aleft( 0; - 3 ight).)

Đường thẳng (y = - x - 3;,,y = - 2) giảm nhau tại (A"left( - 1; - 2 ight)).

Đường thẳng (y = 2x - 3;,,y = - 2) cắt nhau tại (A""left( frac12; - 2 ight)).

Ví dụ 6. Cho vật thị hàm số tất cả đồ thị (left( C ight)) như hình vẽ.

 

*

a) Hãy lập bảng biến thiên của hàm số bên trên (left< - 3;3 ight>).

b) Tìm giá bán trị lớn nhất và nhỏ dại nhất của hàm số bên trên (left< - 4;2 ight>).

Giải

a) Bảng biến chuyển thiên của hàm số trên (left< - 3;3 ight>)

 

*

b) Dựa vào đồ dùng thị hàm số đã mang đến ta có: (mathop max limits_left< - 4;2 ight> y = 3 Leftrightarrow x = - 4;,,mathop min limits_left< - 4;2 ight> y = 0 Leftrightarrow x = 2)

Dạng toán 3. Đồ thị của hàm số đựng dấu trị hoàn hảo nhất (y = left| ax + b ight|).

Phương pháp giải toán: Vẽ đồ vật thị (left( C ight)) của hàm số (y = left| ax + b ight|) ta làm như sau:



+ rước đối xứng thiết bị thị (left( C ight)) ở dưới trục hoành qua trục hoành.

Ví dụ 7. Vẽ trang bị thị của các hàm số sau:

a) (y = left{ eginarrayl2x,,khi,,x ge 0\ - x,,khi,,x Vẽ mặt đường thẳng (y = - x - 2) trải qua hai điểm (Aleft( 0; - 2 ight);,,Cleft( - 2;0 ight)) và đem phần đường thẳng bên trái của trục tung.


Cách 2: Đường thẳng (d:,,y = x - 2) đi qua (Aleft( 0; - 2 ight);,,Bleft( 2;0 ight)). Lúc đó đồ thị của hàm số (y = left| x ight| - 2) là phần mặt đường thẳng d nằm bên phải của trục tung và phần đối xứng của nó qua trục tung.

 

*

b) Đồ thị (y = left| - 2 ight|) là bao gồm phần:

+ giữ nguyên đồ thị hàm số (y = left| x ight| - 2) ở phía bên trên trục hoành.

+ mang đối xứng phần vật dụng thị hàm số (y = left| x ight| - 2) ở phía bên dưới trục hoành và lấy đối xứng qua trục hoành.

 

*

Ví dụ 9. Cho vật thị (left( C ight):,,y = 3left| x - 2 ight| - left| 2x - 6 ight|)

a) Vẽ vật thị (left( C ight)).

b) Tìm giá bán trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số bên trên với (x in left< - 3;4 ight>).

Giải

a) Ta có (y = left{ eginarraylx,,khi,,x ge 3\5x - 12,,khi,,2 Vẽ mặt đường thẳng (y = 5x - 12) đi qua hai điểm (Bleft( 3;3 ight);,,Cleft( 2; - 2 ight)) và đem phần mặt đường thẳng nằm trong lòng của hai tuyến đường thẳng (x = 2;,,x = 3).


Vẽ mặt đường thẳng (y = - x) đi qua nhị điểm (Oleft( 0;0 ight);,,Dleft( - 1; - 1 ight)) và lấy phần đường thẳng phía trái của con đường thẳng (x = 2).

 

*

b) nhờ vào đồ thị hàm số ta có: (mathop max limits_left< - 3;4 ight> y = 4 Leftrightarrow x = 4;,,mathop min limits_left< - 3;4 ight> y = - 2 Leftrightarrow x = 2)

Dạng toán 4. Ứng dụng của hàm số bậc nhất trong chứng minh bất đẳng thức và tìm giá bán trị bé dại nhất, phệ nhất.

Phương pháp giải toán: 

Cho hàm số (fleft( x ight) = ax + b) cùng đoạn (left< alpha ;eta ight> subset R). Khi đó, đồ thị của hàm số (y = fleft( x ight)) bên trên (left< alpha ;eta ight>) là 1 trong những đoạn thẳng phải ta có một trong những tính chất:

(eginarraylmathop max limits_left< alpha ;eta ight> fleft( x ight) = max left fleft( a ight);fleft( b ight) ight\\mathop min limits_left< alpha ;eta ight> fleft( x ight) = min left fleft( a ight);fleft( b ight) ight\\mathop max limits_left< alpha ;eta ight> left| fleft( x ight) ight| = max left left ight\endarray)


Ví dụ 10. Cho hàm số (fleft( x ight) = left| 2x - m ight|). Tìm m để giá trị lớn nhất của (fleft( x ight)) trên (left< 1;2 ight>) đạt giá trị nhỏ nhất.

Giải

Dựa vào các nhận xét bên trên ta thấy (mathop max limits_left< 1;2 ight> fleft( x ight)) chỉ rất có thể đạt được tại (x = 1) x=1 hoặc (x = 2).

Như vậy nếu đặt (M = mathop max limits_left< 1;2 ight> fleft( x ight)) thì (M ge fleft( 1 ight) = left| 2 - m ight|) và (M ge fleft( 2 ight) = left| 4 - m ight|).

Ta có: (M ge fracfleft( 1 ight) + fleft( 2 ight)2 = frac2 ge frac2 = 1)

Đẳng thức xẩy ra khi còn chỉ khi (left{ eginarraylleft| 2 - m ight| = left| 4 - m ight|\left( 2 - m ight)left( m - 4 ight) ge 0endarray ight. Leftrightarrow m = 3)

Vậy giá bán trị nhỏ tuổi nhất của M là 1, dành được chỉ lúc (m = 3).

Ví dụ 11. Cho hàm số (y = left| sqrt 2x - x^2 - 3m + 4 ight|). Tìm m để giá trị lớn số 1 của hàm số y là bé dại nhất.


Giải

Gọi (A = max y). Ta đặt (t = sqrt 2x - x^2 Rightarrow t = sqrt 1 - left( x - 1 ight)^2 ), do kia (0 le t le 1).

Khi đó hàm số được viết lại là (y = left| t - 3m + 4 ight|) cùng với (t in left< 0;1 ight>), suy ra:

(A = mathop max limits_left< 0;1 ight> left| t - 3m + 4 ight| = max left left ight ge frac 5 - 3m ight2) Áp dụng bất đẳng thức giá trị tuyệt đối ta có: (left| - 3m + 4 ight| + left| 5 - 3m ight| = left| 3m - 4 ight| + left| 5 - 3m ight| ge 1)

Do đó(A ge frac12), đẳng thức xảy ra khi (m = frac32).

Vậy giá bán trị buộc phải tìm là (m = frac32).

Ví dụ 12. Cho a, b, c nằm trong (left< 0;2 ight>). Chứng minh rằng: (2left( a + b + c ight) - left( ab + bc + ca ight) le 4)

Giải

Viết bất đẳng thức lại thành (left( 2 - b - c ight)a + 2left( b + c ight) - bc - 4 le 0)


Xét hàm số bậc nhất: (fleft( a ight) = left( 2 - b - c ight)a + 2left( b + c ight) - bc - 4) cùng với ẩn (a in left< 0;2 ight>).

Xem thêm: Top 16 Bài Phân Tích Những Ngôi Sao Xa Xôi (Sơ Đồ Tư Duy), Soạn Bài Những Ngôi Sao Xa Xôi

Ta có: (fleft( 0 ight) = 2left( b + c ight) - bc - 4 = - left( 2 - b ight)left( 2 - c ight) le 0)

(fleft( 2 ight) = left( 2 - b - c ight)2 + 2left( b + c ight) - bc - 4 = - bc le 0)

Suy ra (fleft( a ight) le max left fleft( 0 ight);fleft( 2 ight) ight le 0).

Tải về

Luyện bài tập trắc nghiệm môn Toán lớp 10 - coi ngay