I. Các khái niệm cơ bạn dạng 1. Hàm số đối số nguyên Hàm có tập khẳng định thuộc Z gọi là hàm số gồm đối số nguyên. Cam kết hiệu y = f(n). Ví dụ: f(n) = n2 + n – 1 f(n) = n3 + 1 f(n) = sina (a là hằng số) 2. Định nghĩa không nên phân: không đúng phân của hàm số Un là chênh lệch giá trị của hàm số trên hai giá chỉ trị sau đó nhau. Ký hiệu: ΔUn = Un +1 - Un sai phân cấp cho m của hàm số Un là sai phân của sai...




Bạn đang xem: Giải phương trình sai phân

*

CHƢƠNG VI : PHƢƠNG TRÌNH sai PHÂNI. Những khái niệm cơ bản1. Hàm số đối số nguyênHàm tất cả tập xác định thuộc Z gọi là hàm số tất cả đối số nguyên.Ký hiệu y = f(n). F(n) = n2 + n – 1Ví dụ: f(n) = n3 + 1 f(n) = sina (a là hằng số)2. Định nghĩa không nên phân:Sai phân của hàm số Un là chênh doanh thu trị của hàm số tại hai giá chỉ trị kế tiếp nhau. Ký kết hiệu: ΔUn = Un +1 - UnSai phân cung cấp m của hàm số Un là không đúng phân của sai phân cấp m-1 của hàm số kia : ΔmUn = Δ(Δm-1Un )= Δm-1Un +1 - Δm-1UnChẳng hạn sai phân cấp cho 2 được tính :Δ2Un = Δ(ΔUn )= ΔUn +1 – ΔUn= (Un +2 - Un+1 )- (Un +1 – Un ) = Un +2 -2 Un +1 + UnTương từ ta có thể biểu diễn ΔmUn qua Un , Un+1,..., Un+mI. Phƣơng trình sai phân Định nghĩa : là PT cùng với hàm số bắt buộc tìm là một trong hàm đối số rời rộc rạc f (n) = Un bao gồm mặtdưới dạng không đúng phân các cấp.PT không nên phân cung cấp m gồm dạng tổng quát : G(n, Un, ΔUn, Δ2Un,..., ΔmUn) = 0Hay rất có thể viết dưới dạng : F(n, Un, Un+1,..., Un+m) = 0Nghiệm của PT không đúng phân là hàm số đối số rời rộc rạc Un =f(n) mà khi cầm Un = f(n), Un+1=f(n+1),..., Un+m =f(n+m) ta được một đồng hóa thức bên trên tập hợp các số nguyên n0.Nghiệm tổng quát của một PT sai phân cấp cho n tất cả dạng : Un =f(n, C1, C2,...,Cn) vào đóC1, C2,...,Cn là những hằng số bất kì, lúc gán cho mỗi kí trường đoản cú C1, C2,...,Cn một vài xác địnhta được một nghiệm riêng biệt của PT.PT không đúng phân Ôtônôm là PT có dạng Un+m = f(Un, Un+1,..., Un+m-1) 1II. Phƣơng trình không nên phân tuyến tính1. Phương trình không nên phân tuyến đường tính cấp cho 1Định nghĩa: Là phương trình bao gồm dạng: anUn+1 + bnUn = fn (1)Trong kia an, bn, fn là những hàm đối số nguyên. Un và Un+1 là hai quý hiếm kề nhau của hàmUn đối số nguyên buộc phải tìm.Nếu an cùng bn là những hằng số thì ta tất cả phương trình sai phân thông số hằng.Phương trình anUn+1 + bnUn = 0 (2) gọi là phương trình thuần nhất tương xứng của (1).Ví dụ:Một quý khách hàng có số chi phí là A đồng, rước gửi tiết kiệm, lãi xuất mỗi tháng là 1%.Lập quy mô về tình trạng tiền vốn của khách hàng. 1Ta bao gồm un+1 = un + 100 un = 1,01.un un+1 – 1,01.un = 0, u0 = A2. Phương trình sai phân cấp cho caoa. Phương trình không đúng phân cung cấp 2Dạng : an.un+2 + bn.un+1 + cn.un = fnNếu an, bn và cn là những hằng số thì ta gồm phương trình sai phân hệ số hằng.Nếu fn = 0 thì ta tất cả phương trình thuần độc nhất liên kếtan.un+2 + bn.un+1 + cn.un = 0Nếu U*n là 1 trong nghiệm của PT không đúng phân tuyến tính không thuần nhất và U1n, U2n là 2nghiệm độc lập tuyến tính của PT thuần nhất liên kết thì nghiệm tổng thể của PT là : U = U*n+ C1U1n + C2 U2nVí dụ:Ngày 01/ 01/ 1202, Giáo hoàng La Mã cho Fibonacci một việc như sau: “Hômnay, fan ta khuyến mãi ngay tôi một cặp thỏ. Biết thỏ nhì tháng tuổi ban đầu đẻ và tiếp đến mỗitháng đẻ một lứa, từng lứa là 1 cặp thỏ. Không còn năm, tôi có bao nhiêu cặp thỏ ?”Giải: gọi Fn là số cặp thỏ đã đạt được ở tháng sản phẩm công nghệ n.Tháng trước tất cả Fn-1 cặp, trong những số ấy chỉ tất cả số thỏ tháng trước nữa là đẻ Fn = Fn-1 + Fn-2 cùng với F1 = 1, F2 = 1.b. Phương trình không nên phân cấp kLà phương trình bao gồm dạng: ak.Un+k + ak-1.Un+k-1 + … + a0.Un = fn 2III. Phƣơng trình sai phân đường tính cấp 1 hệ số hằng1. Phương trình không nên phân đường tính thuần độc nhất vô nhị Nghiệm bao quát : Un = C(- p) n Dạng Un+1 + pUn = 0 Un+1 = - pUnVí dụ:Năm 1990 dân số hà nội thủ đô là 1,6 triệu người, tốc độ tăng số lượng dân sinh là 1% một năm. Hỏidân số thủ đô hà nội năm 2050 là bao nhiêu?Giải: call un là dân số hà thành năm sản phẩm n + 1990 1Ta tất cả un+1 = un + 100 un = 1,01.un un = u0.(1,01)n.Có u0 = 1,6 triệu u60 = 1,6.(1,01)60 2.91 triệu.2. Phương trình sai phân đường tính không thuần nhấtDạng Un+1 + pUn = q (1) với q 0. PT thuần nhất liên kết Un+1 + pUn = 0 (2).Định lý :Nếu U*n là một trong nghiệm của PT không đúng phân tuyến tính ko thuần duy nhất (1) cùng U1n là mộtnghiệm của PT thuần nhất links (2) thì U1n+ U*n là nghiệm của PT (1). Nghiệm tổng quát của (1) dạng Un= U*n + C(- p) nTa tìm kiếm nghiệm riêng của (1) : q+) Nếu phường -1 nghiệm riêng là U*n = 1p U*n+) Nếu p = -1 nghiệm riêng là = qn.IV. Phƣơng trình không nên phân tuyến tính cấp 2 thông số hằng1. Phương trình sai phân con đường tính thuần duy nhất :Xét phương trình: Un+2 + pUn+1 + qUn = 0 (3)Bổ đề 1: nếu như xn, yn là nghiệm của (3) thì A.xn + B.yn (A, B : const) cũng là nghiệm của (3).Chứng minh:Ta có: (A.xn+2 + B.yn+2) + p.(A.xn+1 + B.yn+1) + q.(A.xn + B.yn) = A(xn+2 + p.xn+1 + q.xn ) + B(yn+2 + p.yn+1 + q.yn ) = 0 3Định nghĩa: x0 x1Nếu 0 thì xn với yn chủ quyền tuyến tính y0 y1Bổ đề 2: nếu xn, yn là nghiệm riêng tự do tuyến tính của (3) thì Un = A.xn + B.yn lànghiệm tổng thể của (3).Chứng minh:Gọi Un là một nghiệm ngẫu nhiên của (3). Ta chứng minh rằng sống thọ Au cùng Bu sao cho Un = Au.xn + Bu.yn(Au, Bu là các hằng số dựa vào un). Ax0 + By0 = U0 Hệ phương trình Ax1 + By1 = U1Có nghiệm tốt nhất Au cùng Bu. U2 = p.U1 + q.U0 = Aux2 + Buy2.Chứng minh bởi quy nạp, ta bao gồm Un = Au.xn + Bu.yn đông đảo nghiệm của (3) đều màn trình diễn qua xn với yn đ.p.c.mTa tìm kiếm nghiệm riêng bên dưới dạng xn = λn (λ 0). Núm vào (3), ta có: λn+2 + p.λn+1 + q.λn = 0 λ2 + pλ + q = 0 (4).Phương trình (4) gọi là phương trình đặc thù của (3).Trường phù hợp 1: giả dụ (4) bao gồm hai nghiệm thực phân biệt λ1 với λ2 (3) gồm hai nghiệmriêng tự do tuyến tính xn = λ1n với yn = λ2n .Nghiệm tổng thể Un = C1 λ1n + C2 λ2nTrường vừa lòng 2: nếu như (4) bao gồm nghiệm kép là λ0, (3) bao gồm hai nghiệm riêng độc lập tuyếntính xn= λ0n cùng yn = n.λ0n .Nghiệm bao quát Un = (C1+ nC2) λ0n phường .iTrường hòa hợp 3: trường hợp (4) tất cả hai nghiệm phức λ1,2 = =A Bi 2 B p ) và với r = A2 + B2 với α = arctgA .(A = ,B= 2 2 λ1,2 = r(cosα i.sinα)PT (3) bao gồm hai nghiệm riêng chủ quyền tuyến tính là xn = rn.cosnα và yn = rn.sinnαNghiệm tổng thể Un = rn . 4Ví dụ 1: tìm nghiệm un+2 = 5un+1 + 6un biết u0 = 1, u1 = 0Bài làm:Phương trình quánh trưng: λ2-5λ + 6 = 0 λ1 =1 cùng λ2 = 2Vậy nghiệm tổng thể un = A + B.2n. U0 = A + B = 1 Hệ phương trình u 1 = A + 2B = 0 A = 2 và B = -1. NVậy nghiệm riêng thoả nguyện là un = 2 – 2 5Ví dụ 2: tra cứu nghiệm un+2 = 2 un+1 - un biết u0 = 0, u1 = 1 5 1Bài làm: Phương trình quánh trưng: λ2- 2 λ+1 = 0 λ1 = 2 với λ2 = 2 1Vậy nghiệm bao quát un = A 2n + B.2n. U0 = A + B = 0 Hệ phương trình A 2 2 u1 = 2 + 2B = 1 A = -3 v à B = 3 . 2Vậy nghiệm riêng phải tìm là un = 3 (2-n – 2n)Ví dụ 3: kiếm tìm nghiệm un+2 = 10un+1 - 25unBài làm:Phương trình quánh trưng: λ2- 10λ + 25 = 0 λ1 = λ2 = 5Vậy nghiệm tổng quát un = (A + Bn)5nVí dụ 4: tra cứu nghiệm un+2 - 2un+1 + un = 0 biết u0 = 1, u1 = 2Bài làm:Phương trình sệt trưng: λ2- 2λ+1 = 0 λ1 = λ2 = 1Vậy nghiệm tổng thể un = A + Bn u0 = A = 1 Hệ phương trình u1 = A + B = 2 A = B = 1.Vậy nghiệm riêng nên tìm là un = 1 + nVí dụ 5: tìm nghiệm un+2 - un+1 + un = 0Bài làm: Phương trình quánh trưng: λ2- λ+1 = 0 3 2 1 i3 1 3 (2)2 + ( 2 )2 = 1, tgα = 1 = 3 λ1,2 = ,r= 2 2 5 α=3 λ1,2 = cos 3 i.sin 3 n. N.Vậy nghiệm tổng thể un = Acos 3 + Bsin 3Ví dụ 6: tìm kiếm nghiệm un+2 - 2un+1 + 4un = 0, u0 = u1 = 1Bài làm:Phương trình quánh trưng: λ2- 2λ+4 = 0 12 +( 3 )2 = 2, tgα = 3 λ1,2 = 1 α=3 λ1,2 = 2(cos3 i. 3 , r = i.sin3 ) n. N.Vậy nghiệm bao quát un = 2n(Acos 3 + Bsin 3 ) u0 = A = 1Hệ phương trình u1 = 2(cos3 + Bsin3 ) = 1 A = 1 và B = 0. N.Vậy nghiệm riêng cần tìm là un = 2n.cos 32. Phương trình sai phân đường tính ko thuần độc nhất Dạng Un+2 + pUn+1 + qUn = r (5) (r 0)Ta tra cứu nghiệm riêng biệt U*n của (5) : ? r+) ví như p+q -1 thì nghiệm riêng là : U*n = 1pq+) ví như p+q = -1 rn Khi phường -2 thì nghiệm riêng rẽ là : U*n = p2 rn 2 * Khi p = -2 thì nghiệm riêng là : U n = 2Từ nghiệm của PT thuần nhất links ta suy ra nghiệm bao quát của (5).Trường vừa lòng Un+2 + pUn+1 + qUn = f(n) ta xét ở dạng tổng quát cho PT không nên phân tuyếntính hệ số hằng cung cấp k.V. Phƣơng trình sai phân tuyến tính cấp cho k thông số hằng.1. Phương trình không nên phân tuyến tính thuần nhất cung cấp k thông số hằng:Là phương trình gồm dạng: ak.Un+k + ak-1.Un+k-1 + … + a0.Un = 0 (6)Trong đó a0, a1, …, ak là những số thực. 6Ta tìm nghiệm riêng bên dưới dạng Un = λn, núm vào (6) ta có phương trình sệt trưng:ak.λk + ak-1.λk-1 + … + a0.λ = 0 (7)Trường vừa lòng 1: trường hợp (7) bao gồm k nghiệm thực sáng tỏ λ1, λ2, … λk ta có k nghiệmriêng hòa bình tuyến tính x1n = λ1n, … xkn = λkn .Nghiệm bao quát : Un = C1. λ1n + C2. λ2n + … + Ck. λknTrường vừa lòng 2:Nếu (7) gồm nghiệm bội, ví dụ điển hình λ1 gồm bội s cùng k-s nghiệm thực phân biệt:λ1 = λ2 = … = λs , ta sửa chữa s nghiệm riêng x1n, x2n, …, xsn tương xứng bằng: x1n = λ1n,x2n = nλ1n, … , xsn = ns-1.λ1n.Nghiệm tổng quát : Un = (C1+n C2 + … + ns-1Cs) λ1n + Cs+1 λ1n+...+ Ck. λknTrường phù hợp 3: giả dụ phương trình (7) có nghiệm phức, chẳng hạn λ1 = r(cosα +i.sinα)thì sẽ sở hữu được nghiệm phức liên hợp λ2 = r(cosα - i.sinα) cùng k-2 nghiệm thực phân biệt, khiđó khớp ứng ta thay thế sửa chữa x1n = rn.cosnα và x2n = rn.sinnα trong nghiệm tổng quát.Nghiệm bao quát : Un = rn + C3. λ3n … + Ck. λknVí dụ 1: tìm kiếm nghiệm un+3 – 10un+2 + 31un+1 - 30un = 0.Bài làm: Phương trình sệt trưng: λ3 -10λ2 + 31λ -30 = 0 λ1 =2, λ2 = 3 và λ3 = 5Vậy nghiệm tổng quát un = A1.2n + A2.3n + A3.5nVí dụ 2: tra cứu nghiệm un+3 – 7un+2 + 16un+1 - 12un biết u0 = 0, u1 = 1, u2 = -1Bài làm: Phương trình sệt trưng:λ3 - 7λ2 + 16λ -12 = 0 λ1 = λ2 = 2 và λ3 = 3Vậy nghiệm tổng quát un = (A + n.B)2n + C.3n u0 = A + C = 0Có hệ phương trình u1 = 2A + 2B + 3C = 1 u2 = 4(A + 2B) + 9C = -1 A = 5, B = 3 và C = -5.Vậy nghiệm riêng thỏa mãn là un = (5 + 3n).2n – 5.3nVí dụ 3: search nghiệm un+3 – un = 0Bài làm: Phương trình quánh trưng: λ3 -1= 0 1 i3 λ1 = 1, λ2,3 = 2 = cos3 i.sin3 n. N.Vậy nghiệm tổng thể un = A + Bcos 3 + Csin 3 72. Phương trình sai phân tuyến tính ko thuần nhất cấp cho k thông số hằngLà phương trình dạng: ak.Un+k + ak-1.Un+k-1 + … + a0.Un = fn (8)Trong kia a0, a1, …, ak là các số thực, fn 0n.Phương trình thuần nhất khớp ứng ak.Un+k + ak-1.Un+k-1 + … + a0.Un = 0 (6).Bổ đề: Nghiệm tổng thể của phương trình (8) bằng nghiệm tổng thể của phươngtrình (6) cùng với nghiệm riêng ngẫu nhiên của (8).Chứng minh:Giả sử cả nước là nghiệm tổng thể của (6) và xn là nghiệm riêng rẽ của (8).Đặt un = cả nước + xn.Ta có: ak.Un+k + ak-1.Un+k-1 + … + a0.Un= ak(vn+k + xn+k) + ak-1(vn+k-1 + xn+k-1) … + a0(vn + xn)= (ak.vn+k + ak-1.vn+k-1 + … + a0.vn)+(ak.xn+k + ak-1.xn+k-1+…+ a0.xn)= 0 + fn = fn un = nước ta + xn.Ngược lại hiệu 2 nghiệm riêng bất kỳ của (8) cũng chính là nghiệm riêng biệt của (6). Vậynghiệm tổng thể của (8) bằng nghiệm tổng quát của phương trình (6) cùng vớinghiệm riêng ngẫu nhiên của (8).Cách search nghiệm riêng rẽ xn fn = Pm(n) = bmnm + bm-1nm-1 + … + b1n + b0Trường vừa lòng 1:Nếu λ = 1 là nghiệm cấp s của phương trình đặc trưng ( s có thể nhận quý hiếm 0) thìnghiệm riêng tất cả dạng xn= ns(cmnm + cm-1nm-1+…+ c1n + c0) và tìm ci bằng phươngpháp thông số bất định. Ví như λ = 1 ko là nghiệm của phương trình đặc thù thì nghiệm riêng gồm dạngxn= Cmnm + Cm-1nm-1+…+ C1n + C0 với tìm Ci bằng cách thức hệ số bất định. Fn = Pm(n).βnTrường vừa lòng 2: trường hợp λ = β là nghiệm cấp s của phương trình đặc trưng (s rất có thể nhận cực hiếm 0) thìnghiệm riêng bao gồm dạng xn= Qm(n).ns.βn, núm vào phương trình tra cứu Qm(n) bởi phươngpháp thông số bất định. Nếu như λ = β ko là nghiệm của phương trình đặc thù thì nghiệm riêng bao gồm dạngxn= Qm(n).βn, cầm cố vào phương trình kiếm tìm Qm(n) bằng cách thức hệ số bất định. Fn = Rl(n) + Pm(n).βnTrường vừa lòng 3: Ta tìm nghiệm riêng rẽ dạng xn = x1n + x2n. 8Trong đó x1n là nghiệm riêng rẽ ứng cùng với f1(n) = Rl(n) (đưa về trường đúng theo 1) và x2n lànghiệm riêng biệt ứng với f2(n) = Pm(n).βn (đưa về trường hòa hợp 2). 5Ví dụ 1: tra cứu một nghiệm riêng biệt của phương trình un+2 – 2 un+1 + un = n2 + n + 1 5 1Bài làm: Phương trình đặc trưng λ2 –2 λ+1 = 0 λ1= 2 và λ2 = 2 λ = 1 ko là nghiệm ta tìm nghiệm riêng biệt dạng xn= an2 + bn+ cThay vào phương trình, ta có: 5a(n+2)2+b(n+2)+c - 2 + an2+bn+c = n2+ n+1. Xn = -2n2 + 2n - 10Đồng nhất hệ số a = -2, b =2 và c = -10Ví dụ 2: kiếm tìm một nghiệm riêng của phương trình un+2 – un = 6n2 + 12n + 8Bài làm: Phương trình đặc thù λ2 –1 = 0 λ1= 1 cùng λ2 = -1 λ = 1 là nghiệm đối kháng ta tìm kiếm nghiệm riêng dạng xn= n(an2+bn+c) x n = n3Thay vào phương trình a = 1, b = c = 0 5Ví dụ 3: tìm kiếm một nghiệm riêng rẽ của phương trình un+2 – 2 un+1 + un = 3n 5 1Bài làm: Phương trình đặc thù λ2 –2 λ+1 = 0 λ1= 2 và λ2 = 2 ta tra cứu nghiệm riêng dạng xn= A.3n λ = 3 ko là nghiệm 5 2 2Thay vào phương trình, ta có: A.3n+2 - 2 A.3n+1 + A.3n = 3n A = 5 xn = 5 .3n un+2 – un+1 - 2un = -3.

Xem thêm: Nghĩa Của Từ Charge For Là Gì ? Các Ý Nghĩa Phổ Biến Nhất Từ Điển Anh Việt Charge

2nVí dụ 4: tìm một nghiệm riêng biệt của phương trìnhBài làm: Phương trình đặc trưng λ2 – λ - 2 = 0 λ1= 2 với λ2 = -1 λ = 2 là nghiệm solo ta kiếm tìm nghiệm riêng dạng xn= A.n.2n 1 -nThay vào PT, ta có: A(n+2)2n+2 – A(n+1)2n+1 – 2A.n.2n = -3.2n A = - 2 xn = 2 .2nVí dụ 5: tìm một nghiệm riêng rẽ của phương trình 5 un+2 – 2 un+1 + un = n2 + n + 1 + 3n 2Bài làm: Áp dụng ví dụ như 1 với ví dụ 3 nghiệm riêng biệt xn = -2n2 + 2n – 10 + 5 .3n6. Ứng dụng của phƣơng trình sai phân 9