Nội dung bài học sẽ giúp đỡ các em cầm đượckhái niệm, cách xác định gócgiữa đường thẳng với mặt phẳng, các tính chất, định lý liên quan đến đường trực tiếp vuông góc với phương diện phẳng, mối liên hệ giữa quan hệ tuy nhiên song quan hệ nam nữ vuông góc giữa con đường thẳng với mặt phẳng. Trong khi là các ví dụ minh họa để giúp đỡ các em sinh ra các khả năng giải bài tập liên quan đến xác định góc giữa mặt đường thẳng và mặt phẳng,chứng minh con đường thẳng vuông góc với khía cạnh phẳng,...

Bạn đang xem: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng


1. Nắm tắt lý thuyết

1.1. Định nghĩa

1.2. Định lý

1.3. Các tính chất

1.4. Liên hệ giữa quan liêu hệ tuy vậy song và quan hệ vuông góc giữa con đường thẳng cùng mặt phẳng

1.5. Định lý bố đường vuông góc

1.6. Góc giữa mặt đường thẳng cùng mặt phẳng

2. Bài xích tập minh hoạ

3.Luyện tập bài bác 3 chương 3 hình học tập 11

3.1 Trắc nghiệm vềĐường thẳng vuông góc với mặt phẳng

3.2 bài tập SGK và nâng cấp vềĐường trực tiếp vuông góc với phương diện phẳng

4.Hỏi đáp vềbài 3 chương 3 hình học tập 11


Đường thẳng a được hotline là vuông góc với mặt phẳng (P)nếu a vuông góc với tất cả đường thẳng a phía trong mặt phẳng (P).

Kí hiệu:(a ot left ( p ight ))

Định nghĩa đường thẳng vuông góc mặt phẳng

(a ot mp(P) Leftrightarrow a ot c,forall c subset (P))


Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng giảm nhau a cùng b của khía cạnh phẳng (P)thì(d ot left ( p ight ).)

*

Hệ quả: nếu một đường thẳng vuông góc với hai cạnh của một tam giác thì nó cũng vuông góc với cạnh thứ bố của tam giác đó.


Tính chất 1: Có một và có một đường phương diện phẳng đi sang 1 điểm đến trước cùng vuông góc với một đường thẳng đến trước.

*

Tính hóa học 2: gồm duy duy nhất một con đường thẳng đi qua một điểm mang lại trước với vuông góc với một khía cạnh phẳng mang đến trước.

*


a) đặc thù 1Cho hai tuyến phố thẳng tuy nhiên song. Khía cạnh phẳng làm sao vuông góc với con đường thẳng này thì cũng vuông góc với đường thẳng kia.

(left. eginarrayl a//b\ left( alpha ight) ot a endarray ight} Rightarrow left( alpha ight) ot b)

Hai con đường thẳng rõ ràng cùng vuông góc cùng với một mặt phẳng thì tuy nhiên song với nhau.

(left. eginarrayl a ot (alpha )\ b ot (alpha )\ a e b endarray ight} Rightarrow a//b)

*

b) đặc điểm 2Cho nhì mặt phẳng tuy nhiên song. Đường thẳng như thế nào vuông góc với mặt phẳng này thì cũng vuông góc với khía cạnh phẳng kia.

(left. eginarrayl a ot (alpha )\ left( alpha ight)//left( eta ight) endarray ight} Rightarrow left( alpha ight) ot left( eta ight))

Hai khía cạnh phẳng sáng tỏ cùng vuông góc với một đường thẳng thì tuy vậy song cùng với nhau.

(left. eginarrayl a ot (alpha )\ a ot left( eta ight)\ left( alpha ight) e left( eta ight) endarray ight} Rightarrow left( alpha ight)//left( eta ight))

*

c) đặc điểm 3Cho đường thẳng a cùng mặt phẳng(left ( alpha ight ))song tuy nhiên với nhau. Đường thẳng làm sao vuông góc với(left ( alpha ight ))thì cũng vuông góc với a.

(left. eginarrayl a//(alpha )\ b ot left( alpha ight) endarray ight} Rightarrow b ot a)

Nếu một mặt đường thẳng với một mặt phẳng cùng vuông góc cùng với một mặt đường thẳng không giống thì chúng tuy nhiên song với nhau.

(left. eginarrayl a ot b\ b ot left( alpha ight)\ a otsubset left( alpha ight) endarray ight} Rightarrow a//left( alpha ight))

*


1.5. Định lý cha đường vuông góc


Cho mặt đường thẳng d nằm trong mặt phẳng(left ( alpha ight ))và b là con đường thẳng không thuộc(left ( alpha ight ))đồng thời ko vuông góc với(left ( alpha ight )). điện thoại tư vấn b" là hình chiếu vuông góc của b trên(left ( alpha ight )). Kho kia a vuông góc với b khi còn chỉ khi a vuông góc cùng với b".

*


1.6. Góc giữa mặt đường thẳng và mặt phẳng


Góc giữa con đường thẳng d ko vuông góc với khía cạnh phẳng (left ( alpha ight ))là góc thân d với hình chiếu d’ của chính nó trên khía cạnh phẳng (left ( alpha ight )).

*

Đặc biệt: trường hợp d vuông góc với mặt phẳng (left ( alpha ight ))thì ta bảo rằng góc giữa mặt đường thẳng d với mặt phẳng (left ( alpha ight )) là 900.

Cho hình chóp S.ABC bao gồm đáy ABC là tam giác vuông tại C,(SA ot (ABC).)

a) chứng minh rằng:(BC ot (SAC)).

b) điện thoại tư vấn E là hình chiếu vuông góc của A bên trên SC. Minh chứng rằng:(AE ot (SBC).)

c) hotline (P) là mặt phẳng qua AE và vuông góc với SB, (P) giao cùng với SB trên D.Đường thẳng DE cắt BC trên F. Chứng tỏ rằng:(AF ot (SAB).)

Lời giải:

*

a) Ta có:(BC ot AC m (gt) m (1))

Mặt khác:(left. eginarrayl SA ot (ABC)\ BC subset (ABC) endarray ight} Rightarrow SA ot BC,,(2))

Từ (1) với (2) suy ra:(BC ot (SAB).)

b) Ta có:(AE ot SC m (3) (gt))

Theo câu a ta có:(BC ot (SAB) Rightarrow AE ot BC m (4))

Từ (3) (4) suy ra:(AE ot (SBC).)

c) Ta có mặt phẳng (P) chính là mặt phẳng (ADE).

Từ(left. eginarrayl SA ot (ABC)\ AF subset (ABC) endarray ight} Rightarrow AF ot SA m (5))

Do(SB ot (ADE) Rightarrow AF ot SB m (6)).

Từ (5) (6) suy ra:(AF ot (SAB).)

Ví dụ 2:

Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, (SA ot (ABCD)), AD=2a, AB=BC=a. Minh chứng rằng: Tam giác SCD vuông.

Lời giải:

*

Ta có:(left. eginarrayl SA ot (ABCD)\ CD subset (ABCD) endarray ight} Rightarrow SA ot CD(1))

Gọi I là trung điểm của AD. Tứ giác ABCI là hình vuông.

Do đó,(widehat ACI = 45^0.)(*)

Mặt không giống tam giác CID vuông cân tại I nên(widehat BCI = 45^0.)(**)

Từ (*) (**) suy ra:(widehat ACD = 90^0)hay(AC ot CD (2)).

Từ (1) và (2) suy ra:(CD ot (SAC) Rightarrow CD ot SC).

Hay tam giác SCD vuông tại C.

Ví dụ 3:

Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình vuông vắn cạnh a, SA vuông góc với khía cạnh phẳng đáy, (SA = asqrt 6). Tính sin của góc giữa:

a) SC với (SAB).

b) AC cùng (SBC).

Lời giải:

*

a) Ta có:(BC ot AB m (gt)).

(SA ot BC)(Vì(SA ot (ABCD)))

Suy ra:(BC ot (SAB).)

Do đó: SB là hình chiếu vuông góc của SC cùng bề mặt phẳng (SAB).

(Rightarrow (SC,(SAB)) = widehat BSC.)

Ta có:(sin (SC,(SAB)) = sin widehat BSC = fracBCSC = fracasqrt SA^2 + AC^2 = fracsqrt 2 4).

Xem thêm: Công Thức Tính Đỉnh Parabol, Cách Xác Định Tọa Độ Đỉnh Parabol

b) Trong khía cạnh phẳng (SAB) kẻ:(AH ot SB m (H in mSB).)

Theo câu a ta có:(BC ot (SAB) Rightarrow AH ot BC)nên(AH ot (SBC))hay CH là hình chiếu vuông góc của AC xung quanh phẳng (SBC).

(Rightarrow (AC,(SBC)) = widehat ACH.)

Xét tam giác vuông SAB có:(frac1AH^2 = frac1AB^2 + frac1SA^2 = frac76a^2 Rightarrow AH = a.sqrt frac67 .)

Vậy: (sin (AC,(SBC)) = sin widehat ACH = fracAHAC = fracsqrt 21 7.)