Bài giảngGiải tích 1Giải tích 2Đại số tuyến đường tính (LinearAlgebra)Xác suất thốngkêPhương pháp Toán Lý (PT Đạo hàm riêng với PBĐLaplace)Thảo luậnThảo luận về giảitíchThảo luận ĐSTTThảo luận XSTKEbooksMaths Ebooks

Ở bài này ta chỉ xét rất trị của hàm hai thay đổi z = f(x,y).

Bạn đang xem: Cực trị tự do

đến hàm f(x,y) khẳng định trong miền D và điểm

*

1. Định nghĩa:

Ta nói

*
là vấn đề cực tiểu (hoặc cực đại), nếu tồn trên
*
_lân cận của
*
sao cho:

*

(

*
)

Nếu hàm số f đạt cực to hay rất tiểu (địa phương) trên

*
thì ta nói hàm f đạt rất trị (địa phương) tại
*

Nhận xét:

– Hàm số

*
đạt cực tiểu (cực đại) tại
*
nếu:
*

– ví như

*
đổi khác dấu lúc
*
biến đổi thì hàm số không đạt cực trị tại
*

Ví dụ: bạn hãy xét coi hàm số

*
bao gồm đạt cực trị trên M(0;0) tuyệt không?

Xét

*
là một điểm trong bên cạnh của M(0;0). Ta có:

*

Với

*
0 , \Deltay > 0 : \Deltaf(0;0) > 0 " class="latex" />

Với

*

Vậy

*
đổi khác dấu bắt buộc hàm f không đạt rất trị tại M0.

2. Phép tắc tìm rất trị ko điều kiện:

2.1 Định lý (Điều kiện cần)

Nếu hàm

*
đạt cực trị (địa phương) trên
*
với nếu f có các đạo hàm riêng tại
*
thì:

*

Chứng minh:

Giả sử hàm f đạt cực to tại

*
(trường vừa lòng hàm f đạt rất tiểu tại M0 trọn vẹn tương từ ).

Khi đó, xét hàm

*
ta có:
*
, cùng với x trong 1 khoảng như thế nào đó chứa x0.

Do đó, hàm g(x) đạt cực to tại x0. Hay:

*

Mặt khác:

*
. Vậy:
*

Tương tự, giả dụ xét hàm

*
ta vẫn có:
*

Điểm

*
nhưng tại đó
*
, được call là điểm dừng.

2.2 Định lý (Điều kiện đủ)

Giả sử hàm số

*
có những đạo hàm riêng đến cung cấp 2 liên tục trong bên cạnh của điểm dừng
*

Đặt:

*

Khi đó:

a. Nếu như

*
0) thì f đạt rất tiểu tại M0.

b. Nếu

*

c. Nếu

*
0 " class="latex" /> thì f không đạt cực trị trên M0.

d. Giả dụ

*
ta chưa tóm lại và cần được xét thế thể bằng phương pháp dựa vào định nghĩa.

Xem thêm: Tìm Hiểu Về Đầu Số 0961 Là Mạng Gì ? Hướng Dẫn Mua Sim 0961 Số Đẹp Giá Rẻ

Ta thừa nhận không chứng tỏ định lý này. Việc chứng tỏ định lý này, nhờ vào việc khai triển Taylor – Maclaurin cho hàm số 2 biến. Lúc đó, ta sẽ xét dấu mang lại vi phân cung cấp 2 trong triển khai Taylor. Các bạn cũng có thể xem cụ thể chứng minh và phương pháp Taylor trong giáo trình Toán học cao cấp (Tập 3) của người sáng tác Nguyễn Đình Trí. Tuy nhiên, để xem bệnh minh 1 cách dễ phát âm nhất, bạn có thể xem vào cuốn Giải tích toán học tập của tác giả Pixcunop (tập 2).