1. Khái niệm từ trường

Tương tác giữa hai phần tử dòng điện được hiểu theo quan điểm tương tác gần; nghĩa là sự có mặt của dòng điện I1 đã làm biến đổi môi trường xung quanh nó, ta nói dòng điện I1 gây ra xung quanh nó một từ trường và chính từ trường này mới tác dụng lực từ lên yếu tố dòng \( {{I}_{2}}d{{\overrightarrow{\ell }}_{2}} \).

Bạn đang xem: Công thức tính từ trường

Vậy, từ trường là môi trường vật chất tồn tại xung quanh các dòng điện và tác dụng lực từ lên các dòng điện khác đặt trong nó.

Sở dĩ xung quanh nam châm có từ trường là bởi vì sự chuyển động của electron trong mỗi nguyên tử của vật liệu làm nam châm tạo ra một dòng điện và dòng điện đó tạo ra một momen từ. Các momen từ của các nguyên tử sắp xếp một cách có trật tự, kết quả là nam châm có từ tính. Nếu nam châm bị đốt nóng hoặc bị va đập mạnh, các momen từ sẽ mất tính trật tự, và do đó, nam châm sẽ mất từ tính.

2. Vectơ cảm ứng từ, định luật Biot – Savart – Laplace

Đặc trưng cho từ trường tại mỗi điểm là vectơ cảm ứng từ \( \overrightarrow{B} \). Từ công thức (4.2), ta thấy đại lượng \( \frac{{{\mu }_{0}}\mu }{4\pi }\frac{{{I}_{1}}d{{\overrightarrow{\ell }}_{1}}\times \vec{r}}{{{r}^{3}}} \) chỉ phụ thuộc vào phần tử \( {{I}_{1}}d{{\overrightarrow{\ell }}_{1}} \) và vị trí của điểm M mà không phụ thuộc vào phần tử \( {{I}_{2}}d{{\overrightarrow{\ell }}_{2}} \). Do đó, đại lượng \( \frac{{{\mu }_{0}}\mu }{4\pi }\frac{{{I}_{1}}d{{\overrightarrow{\ell }}_{1}}\times \vec{r}}{{{r}^{3}}} \) đặc trưng cho từ trường của phần tử dòng điện \( {{I}_{1}}d{{\overrightarrow{\ell }}_{1}} \) và được gọi là vectơ cảm ứng từ \( d\overrightarrow{B} \) do \( {{I}_{1}}d{{\overrightarrow{\ell }}_{1}} \) gây ra tại điểm M.

Tổng quát, vectơ cảm ứng từ do yếu tố dòng \( Id\overrightarrow{\ell } \) gây ra tại điểm M cách nó một khoảng \( \vec{r} \) là: \( d\overrightarrow{B}=\frac{{{\mu }_{0}}\mu }{4\pi }.\frac{Id\overrightarrow{\ell }\times \vec{r}}{{{r}^{3}}} \) (4.4)


Biểu thức (4.4) đã được Biot, Savart và Laplace rút ra từ thực nghiệm, nên được gọi là định luật Biot – Savart – Laplace.

Từ (4.4) suy ra, vectơ \( d\overrightarrow{B} \) có:

+ Phương: vuông góc với mặt phẳng chứa (\(Id\overrightarrow{\ell }\) và \(\vec{r}\)).

+ Chiều: tuân theo quy tắc cái đinh ốc: “Xoay cái đinh ốc quay từ yếu tố dòng \(Id\overrightarrow{\ell }\) đến \(\vec{r}\) theo góc nhỏ nhất thì chiều tiến của cái đinh ốc là chiều của vectơ \(d\overrightarrow{B}\)”.

+ Độ lớn: \(dB=\frac{{{\mu }_{0}}\mu }{4\pi }.\frac{Id\ell \sin \theta }{{{r}^{2}}}\) (4.5)

+ Điểm đặt: tại điểm khảo sát.

Trong (4,5), \( \theta \) là góc giữa \( Id\overrightarrow{\ell } \) và \( \vec{r} \).

Từ trường tuân theo nguyên lý chồng chất. Để tính cảm ứng từ do một dòng điện bất kì gây ra, ta chia nhỏ dòng điện đó thành những yếu tố dòng \( Id\overrightarrow{\ell } \) và xác định cảm ứng từ \( d\overrightarrow{B} \) của yếu tố dòng đó, sau đó lấy tích phân trên toàn dòng điện:

 \( \overrightarrow{B}=\int\limits_{\text{dòng điện}}{d\overrightarrow{B}}=\int\limits_{\text{dòng điện}}{\frac{{{\mu }_{0}}\mu }{4\pi }.\frac{Id\overrightarrow{\ell }\times \vec{r}}{{{r}^{3}}}} \) (4.6)

Nếu có nhiều dòng điện thì cảm ứng từ tổng hợp do các dòng điện đó gây ra tại điểm M là:


 \( \overrightarrow{B}={{\overrightarrow{B}}_{1}}+{{\overrightarrow{B}}_{2}}+…+{{\overrightarrow{B}}_{n}}=\sum{{{\overrightarrow{B}}_{i}}} \) (4.7)

Trong đó, \( {{\overrightarrow{B}}_{i}} \) là cảm ứng từ do dòng điện Ii gây ra tại M.

3. Vectơ cường độ từ trường

Trong môi trường vật chất, ngoài vectơ cảm ứng từ \( \overrightarrow{B} \), người ta còn định nghĩa vectơ cường độ từ trường \( \overrightarrow{H} \) đặc trưng cho từ trường tại mỗi điểm. Đối với môi trường đẳng hướng, hai vectơ này cùng phương và cùng chiều, có quan hệ như sau: \( \overrightarrow{H}=\frac{\overrightarrow{B}}{{{\mu }_{0}}\mu } \) (4.8)

Vectơ cường độ từ trường \( \overrightarrow{H} \) có vai trò tương tự như vectơ điện cảm \( \overrightarrow{D} \) trong điện trường và vectơ cảm ứng từ \( \overrightarrow{B} \) có vai trò tương tự như vectơ cường độ điện trường \( \overrightarrow{E} \). Trong hệ SI, đồng vị đo cảm ứng từ là tesla (T), đơn vị đo cường độ từ trường là ampe trên mét (A/m)

4. Cảm ứng từ của dòng điện thẳng

*

Giả sử dòng điện I chạy trên đoạn dây dẫn thẳng AB như hình 4.3. Để tính cảm ứng từ do dòng điện này gây ra tại điểm M cách dòng điện I một khoảng h, ta xét một yếu tố dòng \( Id\overrightarrow{\ell } \). Vectơ cảm ứng từ do yếu tố dòng này gây ra tại M được xác định theo định luật Biot – Savart – Laplace (4.4).

Cảm ứng từ do toàn bộ dòng điện I gây ra tại M sẽ được tính theo nguyên lý chồng chất từ trường: \( \overrightarrow{B}=\int\limits_{\left( AB \right)}{d\overrightarrow{B}} \).

Do \(d\overrightarrow{B}\) luôn hướng vuông góc với mặt phẳng hình vẽ và đi vào phía sau với mọi vị trí của yếu tố dòng \( Id\overrightarrow{\ell } \), nên cảm ứng từ tổng hợp \( \overrightarrow{B} \) cũng vuông góc với mặt phẳng hình vẽ và đi vào phía sau.

Độ lớn của cảm ứng từ tại M: \( B=\int\limits_{(AB)}{dB}=\frac{{{\mu }_{0}}\mu }{4\pi }\int\limits_{(AB)}{\frac{Id\ell .\sin \theta }{{{r}^{2}}}} \) (4.9)

Để tính được tích phân (4.9), ta đổi về biến số \( \theta \). Gọi O là chân đường vuông góc hạ từ M xuống đoạn AB, \( \ell \) là khoảng cách từ O đến yếu tố dòng \( Id\overrightarrow{\ell } \) và \( \theta \) là góc hợp bởi hướng của dòng điện với đoạn r nối điểm M với yếu tố \( Id\overrightarrow{\ell } \).


*

Ta có: \( \ell =h\cot \theta \). Lấy vi phân hay vế và lưu ý \( d\ell \) là độ dài của đường đi, ta được \( d\ell =\frac{hd\theta }{{{\sin }^{2}}\theta } \). Mà \( r=\frac{h}{\sin \theta } \).

Thay vào (4.9), ta có:

\(B=\frac{{{\mu }_{0}}\mu }{4\pi }\int\limits_{(AB)}{\frac{I\frac{hd\theta }{{{\sin }^{2}}\theta }.\sin \theta }{{{\left( \frac{h}{\sin \theta } \right)}^{2}}}}=\frac{{{\mu }_{0}}\mu I}{4\pi h}\int\limits_{(AB)}{\sin \theta d\theta }=\frac{{{\mu }_{0}}\mu I}{4\pi h}\int\limits_{{{\theta }_{1}}}^{{{\theta }_{2}}}{\sin \theta d\theta }\)

Hay \(B=\frac{{{\mu }_{0}}\mu I}{4\pi h}\left( \cos {{\theta }_{1}}-\cos {{\theta }_{2}} \right)\) (4.10)

Vậy, vectơ cảm ứng từ \( \overrightarrow{B} \) do đoạn dòng điện thẳng gây ra có đặc điểm (hình 4.4):

+ Phương: vuông góc với mặt phẳng chứa dòng điện và điểm khảo sát.

+ Chiều: xác định theo quy tắc đinh óc hoặc nắm tay phải: “Nắm tay phải sao cho ngón tay cái trùng với dòng điện và hướng theo chiều của dòng điện thì chiều uốn cong của bốn ngón tay là chiều của vectơ cảm ứng từ”.

+ Độ lớn: \(B=\frac{{{\mu }_{0}}\mu I}{4\pi h}\left( \cos {{\theta }_{1}}-\cos {{\theta }_{2}} \right)\).

+ Điểm đặt: tại điểm khảo sát.


Các trường hợp đặc biệt

*

a) Nếu dòng điện rất dài, hoặc điểm khảo sát rất gần đoạn AB (hình 4.5) thì \( \cos {{\theta }_{1}}=1 \) và \( \cos {{\theta }_{2}}=-1 \). Khi đó, ta có: \( {{B}_{M}}=\frac{{{\mu }_{0}}\mu I}{2\pi h} \) (4.11)

*

b) Nếu dòng điện rất dài và điểm khảo sát M nằm trên đường thẳng vuông góc với dòng điện tại một đầu mút (hình 4.6) thì:

 \( {{B}_{M}}=\frac{{{\mu }_{0}}\mu I}{4\pi h} \) (4.12)

*

c) Nếu điểm khảo sát M nằm trên đường thẳng chứa dòng điện (hình 4.7) thì:

 \( {{B}_{M}}=0 \) (4.13)

5. Cảm ứng từ của dòng điện tròn

*


Giả sử dòng điện I chạy trong vòng dây tròn (C) bán kính R. Xét điểm M trên trục của vòng dây, cách tâm O của vòng dây một khoảng h (hình 4.9). Cảm ứng từ do vòng dây gây ra tại M là: \(\overrightarrow{B}=\oint\limits_{(C)}{d\overrightarrow{B}}\), trong đó, \(d\overrightarrow{B}\) là cảm ứng từ do phần tử dòng điện \(Id\overrightarrow{\ell }\) gây ra.

Vectơ \(d\overrightarrow{B}\) được phân tích thành hai thành phần: \(d{{\overrightarrow{B}}_{z}}\) hướng vuông góc mặt phẳng vòng dây và \(d{{\overrightarrow{B}}_{//}}\) hướng song song với mặt phẳng vòng dây.

Do đó: \( {{\overrightarrow{B}}_{M}}=\oint\limits_{(C)}{d\overrightarrow{B}}=\oint\limits_{(C)}{\left( d{{\overrightarrow{B}}_{z}}+d{{\overrightarrow{B}}_{//}} \right)}=\oint\limits_{(C)}{d{{\overrightarrow{B}}_{z}}}+\oint\limits_{(C)}{d{{\overrightarrow{B}}_{//}}} \)

Vì lí do đối xứng quanh trục của vòng dây, nên \( \oint\limits_{(C)}{d{{\overrightarrow{B}}_{//}}}=\vec{0} \).

Suy ra: \( {{\overrightarrow{B}}_{M}}=\oint\limits_{(C)}{d{{\overrightarrow{B}}_{z}}}=\vec{n}\oint\limits_{(C)}{d{{B}_{z}}}=\vec{n}\oint\limits_{(C)}{dB.\cos \alpha } \) (4.14)

Trong đó, \( \vec{n} \) là pháp vectơ đơn vị của mặt phẳng vòng dây, có chiều tuân theo quy tắc đinh ốc.

Mà: \( dB=\frac{{{\mu }_{0}}\mu Id\ell }{4\pi {{r}^{2}}}.\sin {{90}^{O}}=\frac{{{\mu }_{0}}\mu Id\ell }{4\pi {{r}^{2}}} \) (vì \( Id\overrightarrow{\ell } \) luôn vuông góc với \( \vec{r} \));

Khi phần tử \( Id\overrightarrow{\ell } \) di chuyển trên vòng dây thì r và \( \alpha \) không thay đổi.

Ta có: \({{\overrightarrow{B}}_{M}}=\vec{n}\oint\limits_{(C)}{\frac{\mu {{\mu }_{0}}Id\ell }{4\pi {{r}^{2}}}.\cos \alpha }=\vec{n}.\frac{\mu {{\mu }_{0}}I}{4\pi {{r}^{2}}}.\cos \alpha \oint\limits_{(C)}{d\ell }=\vec{n}.\frac{\mu {{\mu }_{0}}I}{4\pi {{r}^{2}}}.\cos \alpha .2\pi R\)

Thay \( \cos \alpha =\frac{R}{r} \), \( r=\sqrt{{{R}^{2}}+{{h}^{2}}} \), ta được:


\({{\overrightarrow{B}}_{M}}=\frac{\mu {{\mu }_{0}}I{{R}^{2}}.\vec{n}}{2{{\left( {{R}^{2}}+{{h}^{2}} \right)}^{\frac{3}{2}}}}=\frac{\mu {{\mu }_{0}}IS.\vec{n}}{2\pi {{\left( {{R}^{2}}+{{h}^{2}} \right)}^{\frac{3}{2}}}}=\frac{\mu {{\mu }_{0}}{{\overrightarrow{P}}_{m}}}{2\pi {{\left( {{R}^{2}}+{{h}^{2}} \right)}^{\frac{3}{2}}}}\) (4.15)

Trong đó: \( S=\pi {{R}^{2}} \) là diện tích giới hạn bởi vòng dây;

 \( {{P}_{m}}=IS \) hay \( {{\overrightarrow{P}}_{m}}=IS\vec{n}=I\overrightarrow{S} \) (4.16)

Là momen từ của dòng điện tròn. Vectơ momen từ của dòng điện tròn có phương vuông góc với mặt phẳng vòng dây, có chiều tuân theo quy tắc đinh ốc hoặc nắm tay phải.

Vậy, vectơ cảm ứng từ do dòng điện chạy trong vòng dây tròn gây ra tại một điểm trên trục của vòng dây có các đặc điểm:

+ Phương: vuông góc với mặt phẳng vòng dây;

+ Chiều: xác định theo quy tắc đinh ốc hoặc nắm tay phải;

+ Độ lớn: \( B=\frac{\mu {{\mu }_{0}}I{{R}^{2}}}{2{{\left( {{R}^{2}}+{{h}^{2}} \right)}^{\frac{3}{2}}}} \) (4.17)

+ Điểm đặt: tại điểm khảo sát.

Trường hợp đặc biệt: khi h = 0, ta có cảm ứng từ tại tâm O của vòng dây: \( {{B}_{O}}=\frac{\mu {{\mu }_{0}}I}{2R} \) (4.18)

6. Cảm ứng từ trong lòng ống dây điện

*

Ống dây điện, hay cuộn dây điện là hệ gồm nhiều vòng dây điện mảnh quấn quanh một lõi có dạng ống rỗng. Thông thường có hai loại ống dây điện: ống dây thẳng hay ống solenoid (hình 4.11) và ống dây tròn hay ống dây hình xuyến, hay ống toroid (hình 4.12).

*

Khi cho dòng điện chạy qua ống dây, trong lòng ống dây sẽ có từ trường. Độ lớn của cảm ứng từ trong lòng ống dây solenoid và ống dây toroid tỉ lệ thuận với cường độ dòng điện và mật độ vòng dây quấn trên ống dây:

 \( B={{\mu }_{0}}\mu nI \) (4.19)

Trong đó, n là mật độ vòng dây hay số vòng dây quấn trên một đơn vị chiều dài ống dây. Công thức (4.19) sẽ được chứng minh sau. Nếu gọi L là chiều dài ống dây solenoid và N là số vòng dây quấn trên ống dây thì mật độ vòng dây là: \( n=\frac{N}{L} \) (4.20)


Hướng dẫn giải:

*

Khung dây hình vuông ABCD có 4 cạnh, dòng điện trên mỗi cạnh là một dòng điện thẳng. Do đó, nếu gọi \( {{\overrightarrow{B}}_{1}},{{\overrightarrow{B}}_{2}},{{\overrightarrow{B}}_{3}},{{\overrightarrow{B}}_{4}} \) lần lượt là cảm ứng từ do cạnh AB, BC, CD, DA gây ra tại O thì cảm ứng từ do toàn bộ khung dây gây ra tại O là: \( \overrightarrow{B}={{\overrightarrow{B}}_{1}}+{{\overrightarrow{B}}_{2}}+{{\overrightarrow{B}}_{3}}+{{\overrightarrow{B}}_{4}} \)

Do các vectơ \( {{\overrightarrow{B}}_{1}},{{\overrightarrow{B}}_{2}},{{\overrightarrow{B}}_{3}},{{\overrightarrow{B}}_{4}} \) đều vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và hướng vào phía sau, nên vectơ tổng \( \overrightarrow{B} \) cũng vuông góc với mặt phẳng vuông góc và hướng vào phía sau (hình 4.8). Và do tính đối xứng của hình vuông quanh tâm O, nên về độ lớn \( {{B}_{1}}={{B}_{2}}={{B}_{3}}={{B}_{4}} \). Từ đó suy ra, độ lớn của cảm ứng từ tại tâm O của hình vuông do một vòng dây gây ra là:

\(B=4{{B}_{1}}=4.\frac{{{\mu }_{0}}\mu I}{4\pi h}\left( \cos {{\theta }_{1}}-\cos {{\theta }_{2}} \right)\)\(=\frac{{{\mu }_{0}}\mu I}{\pi .\frac{a}{2}}\left( \cos {{45}^{O}}-\cos {{135}^{O}} \right)=\frac{2\sqrt{2}\mu {{\mu }_{0}}I}{\pi a}\)

Vì khung dây có N vòng nên cảm ứng từ tổng hợp do toàn bộ khung dây gây ra tại tâm hình vuông là:

 \( B=N.\frac{2\sqrt{2}\mu {{\mu }_{0}}I}{\pi a}=100.\frac{2\sqrt{2}.1.4\pi {{.10}^{-7}}.5}{\pi .0,2}=2,{{83.10}^{-3}}T \)

Cường độ từ trường tại tâm hình vuông:

 \( H=\frac{B}{\mu {{\mu }_{0}}}=N.\frac{2\sqrt{2}I}{\pi a}=100.\frac{2\sqrt{2}.5}{3,14.0,2}=2,{{25.10}^{3}}\text{ }A/m \)


Ví dụ 2. Dòng điện I = 20 A chạy qua dây dẫn rất dài như hình (4.10). Biết bán kính của vòng tròn là R = 10 cm và hệ thống đặt trong không khí. Tính cường độ từ trường tại tâm O của vòng tròn.

Xem thêm: Hãy Sống Như Đời Núi Vươn Tới Những Tầm Cao, Hãy Sống Như Đồi Núi Vươn Tới Những Tầm Cao

*


Hướng dẫn giải:

Có thể chia dòng điện thành hai phần: phần chạy trên dây dẫn thẳng dài và phần chạy trên vòng dây tròn. Cảm ứng từ tương ứng do các phần này gây ra tại tâm O là \({{\overrightarrow{B}}_{1}}\) và \({{\overrightarrow{B}}_{2}}\). Cảm ứng từ tổng hợp tại tâm O của vòng dây là: \( \overrightarrow{B}={{\overrightarrow{B}}_{1}}+{{\overrightarrow{B}}_{2}} \).

Do các vectơ \({{\overrightarrow{B}}_{1}}\) và \({{\overrightarrow{B}}_{2}}\) đều vuông góc với mặt phẳng hình vẽ và hướng ra ngoài nên \(\overrightarrow{B}\) cũng vuông góc với mặt phẳng hình vẽ, hướng ra ngoài và có độ lớn: \( B={{B}_{1}}+{{B}_{2}}=\frac{{{\mu }_{0}}I}{2\pi R}+\frac{{{\mu }_{0}}I}{2R}=\frac{{{\mu }_{0}}I}{2R}\left( \frac{1}{\pi }+1 \right) \)

Và do đó, cường độ từ trường tại tâm O của vòng dây là: \( H=\frac{B}{{{\mu }_{0}}}=\frac{I}{2R}\left( \frac{1}{\pi }+1 \right)=\frac{20}{2.0,1}\left( \frac{1}{3,14}+1 \right)=132\text{ }A/m \)