– Công thức bao quát tính thể tích của một khối tứ diện bất kỳ và những trường hợp sệt biệt
Bài viết này x-lair.com tổng đúng theo và ra mắt lại một số trong những công thức tính nhanh thể tích của khối tứ diện cho một trong những trường hợp đặc trưng hay gặp
https://www.x-lair.com/khoa-hoc/nhom/combo-4-khoa-luyen-thi-thpt-quoc-gia-2021-mon-toan-danh-cho-teen-2k3-12
Đồng thời trình diễn công thức tổng thể tính thể tích đến khối tứ diện bất kì khi biết độ dài tất cả 6 cạnh của tứ diện. Bài toán ghi nhớ các công thức này giúp những em giải quyết nhanh một trong những dạng bài khó về thể tích khối tứ diện vào đề thi THPT tổ quốc 2019 – Môn Toán.
Bạn đang xem: Công thức tính nhanh thể tích tứ diện
Đang xem: công thức tính cấp tốc thể tích tứ diện
Bài viết này trích lược một vài công thức cấp tốc hay sử dụng cho khối tứ diện. Các công thức cấp tốc khác liên quan đến thể tích khối tứ diện và thể tích khối lăng trụ chúng ta đọc xem thêm khoá combo X vày x-lair.com thiết kế tại đây:https://www.x-lair.com/khoa-hoc/nhom/combo-4-khoa-luyen-thi-thpt-quoc-gia-2020-mon-toan-danh-cho-teen-2k2-9
Công thức tổng quát:Khối tứ diện $ABCD$ bao gồm $BC=a,CA=b,AB=c,AD=d,BD=e,CD=f$ ta bao gồm công thức tính thể tích của tứ diện theo sáu cạnh như sau: trong số đó
Công thức 1: Khối tứ diện đều
Khối tứ diện hầu hết cạnh $a,$ ta bao gồm $V=dfraca^3sqrt212.$
Ví dụ 1: Cho tứ diện đều sở hữu chiều cao bằng . Thể tích của khối tứ diện đã mang lại là
A. .
B. .
C. .
D. .
Giải.Thể tích tứ diện gần như cạnh $a$ là $V=fracsqrt2a^312.$
Chiều cao tứ diện phần đa là $h=frac3VS=frac3left( fracsqrt2a^312ight)fracsqrt3a^24=sqrtfrac23aRightarrow a=sqrtfrac32h.$
Vì vậy $V=fracsqrt212left( sqrtfrac32hight)^3=fracsqrt3h^38.$ Chọn giải đáp B.
Công thức 2: Khối tứ diện vuông (các góc tại một đỉnh của tứ diện là góc vuông)
Với tứ diện $ABCD$ có $AB,AC,AD$ song một vuông góc với $AB=a,AC=b,AD=c,$ ta bao gồm $V=dfrac16abc.$
Công thức 3: Khối tứ diện gần các (các cặp cạnh đối tương xứng bằng nhau)
Với tứ diện $ABCD$ tất cả $AB=CD=a,BC=AD=b,AC=BD=c$ ta bao gồm
Ví dụ 1:Chokhối tứ diện $ABCD$có $AB=CD=8,AD=BC=5$ cùng $AC=BD=7.$ Thể tích khối tứ diện đã cho bằng
A. $fracsqrt303.$ | B. $frac20sqrt113.$ | C. $sqrt30.$ | D. $20sqrt11.$ |
Giải. Ta có $V_ABCD=fracsqrt212sqrt(8^2+5^2-7^2)(5^2+7^2-8^2)(7^2+8^2-5^2)=frac20sqrt113.$ Chọn câu trả lời B.
Ví dụ 2:Cho tứ diện $ABCD$ bao gồm $AB=CD=8,AD=BC=5$ cùng $AC=BD=7.$ gọi $M$ là trung điểm cạnh $AB.$Khoảng phương pháp từ điểm $A$ mang lại mặt phẳng $(CMD)$bằng
A. $fracsqrt312.$ | B. $fracsqrt552.$ | C. $fracsqrt212.$ | D. $fracsqrt332.$ |
Giải. Ta gồm $V_AMCD=fracAMABV_ABCD=frac12V_ABCD=fracsqrt224sqrt(8^2+5^2-7^2)(5^2+7^2-8^2)(7^2+8^2-5^2)=frac10sqrt113.$
Tam giác $MCD$ gồm $CD=8$ với theo phương pháp đường trung con đường ta có:
$MC=sqrtfrac2(CA^2+CB^2)-AB^24=sqrtfrac2(7^2+5^2)-8^24=sqrt21.$
và $MD=sqrtfrac2(DA^2+DB^2)-AB^24=sqrtfrac2(5^2+7^2)-8^24=sqrt21.$
Vậy $S_MCD=4sqrt5.$ cho nên vì thế $d(A,(MCD))=frac3V_AMCDS_MCD=frac10sqrt114sqrt5=fracsqrt552.$ Chọn câu trả lời B.
Ví dụ 3:Khối tứ diện $ABCD$ tất cả $AB=CD=5a,AC=BD=6a,AD=BC=7a$ hoàn toàn có thể tích bằng
A. $sqrt95a^3.$
B. $8sqrt95a^3.$
C. $2sqrt95a^3.$
D. $4sqrt95a^3.$
Giải.Áp dụng phương pháp tính thể tích khối tứ diện gần đầy đủ có
$V_ABCD=dfracsqrt212sqrtleft( 5^2+6^2-7^2ight)left( 6^2+7^2-5^2ight)left( 7^2+5^2-6^2ight)a^3=2sqrt95a^3.$
Chọn đáp án C.
Công thức 4: Khối tứ diện có khoảng cách và góc thân cặp cạnh đối diện của tứ diện
Tứ diện $ABCD$ có $AD=a,BC=b,d(AD,BC)=d,(AD,BC)=alpha ,$ ta bao gồm $V=dfrac16abdsin alpha .$
Ví dụ 1.Cho khối tứ diện $ABCD$ tất cả $AB=AC=BD=CD=1.$ lúc thể tích khối tứ diện $ABCD$ đạt giá bán trị lớn số 1 thì khoảng cách giữa hai tuyến phố thẳng $AD$ với $BC$ bằng
| A. $frac2sqrt3.$ | B. $frac1sqrt3.$ | C. $frac1sqrt2.$ | D. $frac13.$ |
Ví dụ 2:Cho nhì mặt mong $(S_1),(S_2)$ bao gồm cùng tâm $I$ và bán kính lần lượt $R_1=2,R_2=sqrt10.$ Xét tứ diện $ABCD$ bao gồm hai đỉnh $A,B$ nằm ở $(S_1);$ hai đỉnh $C,D$ nằm trong $(S_2).$ Thể tích khối tứ diện $ABCD$ có mức giá trị lớn nhất bằng
A. $3sqrt2.$
B. $2sqrt3.$
C. $6sqrt3.$
D. $6sqrt2.$
Giải.Gọi $a,b$ theo thứ tự là khoảng cách từ trung tâm $I$ đến hai tuyến đường thẳng $AB,CD.$
Ta có $AB=2sqrtR_1^2-a^2=2sqrt4-a^2;CD=2sqrtR_2^2-b^2=2sqrt10-b^2$ với $d(AB,CD)le d(I,AB)+d(I,CD)=a+b$ và $sin (AB,CD)le 1.$
Do đó vận dụng công thức tính thể tích tứ diện theo khoảng chừng cách chéo cánh nhau của cặp cạnh đối diện có:
$egingathered V_ABCD = frac16AB.CD.d(AB,CD).sin (AB,CD) leqslant frac23(a + b)sqrt 4 – a^2 sqrt 10 – b^2 = frac23left( asqrt 4 – a^2 sqrt 10 – b^2 + bsqrt 10 – b^2 sqrt 4 – a^2 ight) = frac23left( sqrt 4a^2 – a^4 sqrt 10 – b^2 + sqrt frac10b^2 – b^42 sqrt 8 – 2a^2 ight) leqslant frac23sqrt left( 4a^2 – a^4 + 8 – 2a^2ight)left( 10 – b^2 + frac10b^2 – b^42ight) = frac23sqrt left( – (a^2 – 1)^2 + 9ight)left( – frac12(b^2 – 4)^2 + 18ight) leqslant frac23sqrt 9.18 = 6sqrt 2 . endgathered $
Dấu bằng đạt trên $(a;b)=(1;2).$ Chọn lời giải D.
Ví dụ 3:Cho một hình trụ tất cả thiết diện qua trục là một hình vuông vắn cạnh bằng $a.$ hiểu được $AB$ với $CD$ là hai 2 lần bán kính tương ứng của nhì đáy và góc giữa hai tuyến phố thẳng $AB$ và $CD$ bằng $30^circ .$ Tính thể tích khối tứ diện $ABCD.$
A. $fraca^312.$ | B. $fraca^3sqrt36.$ | C. $fraca^36.$ | D. $fraca^3sqrt312.$ |
Có $h=2r=a;V_ABCD=frac16AB.CD.d(AB,CD).sin (AB,CD)=frac13.2r.2r.h.sin 30^0=fraca^36.$ Chọn đáp án C.
Công thức 5: Khối tứ diện biết diện tích s hai mặt kề nhau
Ví dụ 1: cho khối chóp $S.ABC$ gồm đáy $ABC$ là tam giác vuông cân nặng tại $A,AB=a,widehatSBA=widehatSCA=90^circ ,$ góc giữa hai mặt phẳng $(SAB)$ cùng $(SAC)$ bởi $60^circ .$ Thể tích của khối chóp đã mang đến bằng
A. $a^3.$
B. $fraca^33.$
C. $fraca^32.$
D. $fraca^36.$
Lời giải đưa ra tiết. hotline $H=mathbfh/c(S,(ABC))$ ta gồm $left{ egingathered AB ot SB hfill AB ot SH hfill endgatheredight. Rightarrow AB ot (SBH) Rightarrow AB ot BH;left{ egingathered AC ot SC hfill AC ot SH hfill endgatheredight. Rightarrow AC ot (SCH) Rightarrow AC ot CH.$ Kết phù hợp với $ABC$ là tam giác vuông cân nặng tại $A,AB=a$ suy ra $ABHC$ là hình vuông.
Mặt không giống $V_S.ABC=frac2S_SAB.S_SAC.sin left( (SAB),(SAC)ight)3SA=frac2left( fracasqrta^2+h^22ight)left( fracasqrta^2+h^22ight)fracsqrt323sqrt2a^2+h^2(2).$
Từ (1) và (2) suy ra $h=aRightarrow V=fraca^36.$ Chọn giải đáp D.
Ví dụ 2:Cho tứ diện $ABCD$ gồm $widehatABC=widehatBCD=widehatCDA=90^0,BC=a,CD=2a,cos left( (ABC),(ACD)ight)=dfracsqrt13065.$ Thể tích khối tứ diện $ABCD$ bằng
A. $fraca^33.$
B. $a^3.$
C. $frac2a^33.$
D. $3a^3.$
Lời giải chi tiết. hotline $H=mathbfh/c(A,(BCD)).$ Đặt $AH=hRightarrow V_ABCD=frac13S_BCD.AH=frac13.frac12CB.CD.AH=fraca^2h3(1).$
Ta tất cả $left{ egingathered CB ot tía hfill CB ot AH hfill endgatheredight. Rightarrow CB ot (ABH) Rightarrow CB ot HB.$ giống như $left{ egingathered CD ot domain authority hfill CD ot AH hfill endgatheredight. Rightarrow CD ot (ADH) Rightarrow CD ot HD.$
Kết phù hợp với $widehatBCD=90^0Rightarrow HBCD$ là hình chữ nhật.
Suy ra $AB=sqrtAH^2+HB^2=sqrth^2+4a^2,AD=sqrtAH^2+HD^2=sqrth^2+a^2;AC=sqrtAB^2+BC^2=sqrth^2+5a^2.$
Suy ra $S_ABC=frac12AB.BC=fracasqrth^2+4a^22;S_ACD=frac12AD.DC=asqrth^2+a^2.$
Suy ra $V_ABCD=frac2S_ABC.S_ACD.sin left( (ABC),(ACD)ight)3AC=fraca^2sqrth^2+4a^2sqrth^2+a^23sqrth^2+5a^2sqrt1-left( fracsqrt13065ight)^2(2).$
Kết vừa lòng (1), (2) suy ra: $h=3aRightarrow V_ABCD=a^3.$ Chọn đáp án B.
Ví dụ 3:Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thoi cạnh $a,widehatABC=120^0.$ lân cận $SA$ vuông góc cùng với đáy với góc thân hai mặt phẳng $(SBC),(SCD)$ bằng $60^0,$ khi ấy $SA$ bằng
A. $dfracsqrt6a4.$ | B. $sqrt6a.$ | C. $dfracsqrt6a2.$ | D. $dfracsqrt3a2.$ |
Có $SA=x>0Rightarrow V_S.BCD=dfrac13S_BCD.SA=dfracsqrt3x12(1),left( a=1ight).$
Mặt không giống $V_S.BCD=dfrac2S_SBC.S_SCD.sin left( (SBC),(SCD)ight)3SC=dfrac2left( dfracsqrt4x^2+34ight)^2dfracsqrt323sqrtx^2+3(2).$
Trong kia $BC=1,SB=sqrtx^2+1,SC=sqrtx^2+3Rightarrow S_SBC=dfracsqrt4x^2+34;Delta SBC=Delta SDC(c-c-c)Rightarrow S_SCD=dfracsqrt4x^2+34.$
Từ (1) cùng (2) suy ra Chọn câu trả lời A.
Ví dụ 4: đến tứ diện $ABCD$ bao gồm $ABC$ và $ABD$ là tam giác gần như cạnh bởi $a.$ Thể tích khối tứ diện $ABCD$ có mức giá trị lớn số 1 bằng
A. $dfraca^38.$ | B. $dfraca^3sqrt212.$ | C. $dfraca^3sqrt38.$ | D. $dfraca^3sqrt312.$ |
Có $V_ABCD=dfrac2S_ABCS_ABDsin left( (ABC),(ABD)ight)3AB=dfrac2left( dfracsqrt3a^24ight)left( dfracsqrt3a^24ight)3asin left( (ABC),(ABD)ight)le dfrac2left( dfracsqrt3a^24ight)left( fracsqrt3a^24ight)3a=dfraca^38.$
Dấu bởi đạt tại $(ABC)ot (ABD).$ Chọn câu trả lời A.
Xem thêm: Bị Bỏng Bô Xe Máy Không Để Lại Sẹo Hiệu Quả Nhất, Sơ Cứu Khi Bị Bỏng Bô Xe Máy
Công thức 6:Mở rộng đến khối chóp có diện tích s mặt mặt và phương diện đáy
Khối chóp $S.A_1A_2…A_n$ tất cả $V=dfrac2S_SA_1A_2.S_A_1A_2…A_n.sin left( (SA_1A_2),(A_1A_2…A_n)ight)3A_1A_2.$
Công thức 7: Khối tứ diện lúc biết các góc tại và một đỉnh
Khối chóp $S.ABC$ có $SA=a,SB=b,SC=c,widehatBSC=alpha ,widehatCSA=eta ,widehatASA=gamma .$
Khi kia $V=dfracabc6sqrt1+2cos alpha cos eta cos gamma -cos ^2alpha -cos ^2eta -cos ^2gamma .$
Ví dụ 1:Khối tứ diện $ABCD$ tất cả $AB=5,CD=sqrt10,AC=2sqrt2,BD=3sqrt3,AD=sqrt22,BC=sqrt13$ hoàn toàn có thể tích bằng
A. $20.$
B. $5.$
C. $15.$
D. $10.$
Giải.
Tứ diện này còn có độ dài tất cả các cạnh ta tính những góc tại một đỉnh rồi vận dụng công thức thể tích khối tứ diện dựa trên 3 góc bắt nguồn từ cùng 1 đỉnh:
Có $left{ egingatheredhfill cos widehatBAD=dfracAB^2+AD^2-BD^22AB.AD=sqrtdfrac211 hfill cos widehatDAC=dfracAD^2+AC^2-CD^22AD.AC=dfrac52sqrt11 hfill cos widehatCAB=dfracAC^2+AB^2-BC^22AC.AB=dfrac1sqrt2 endgatheredight..$
Vì vậy $V_ABCD=dfrac16.5.2sqrt2.sqrt22sqrt1+2sqrtdfrac211dfrac52sqrt11dfrac1sqrt2-left( sqrtdfrac211ight)^2-left( dfrac52sqrt11ight)^2-left( dfrac1sqrt2ight)^2=5.$