Phân tích nhiều thức thành nhân tử là kỹ năng cơ sở cho những bài học về nhân chia solo thức, đa thức quan trọng trong các biểu thức phân số có chứa biến đổi trong lịch trình toán 8 và cả những lớp sau này.
Bạn đang xem: Cách phân tích đa thức thành nhân tử
Chính vị vậy, mà vấn đề nắm vững các cách phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương thức đặt nhân tử chung, nhóm hạng tử, hay phương thức dùng hằng đẳng thức là điều rất bắt buộc thiết. Bài viết dưới đây đã tổng vừa lòng các cách thức phân tích đa thức thành nhân tử và áp dụng giải những dạng bài tập này.
I. Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử
1. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung
* Phương pháp:
- Tìm nhân tử bình thường là những đối kháng thức, đa thức có mặt trong toàn bộ các hạng tử.
- phân tích mỗi hạng tử các kết quả của nhân tử thông thường và một nhân tử khác.
- Viết nhân tử chung ra ngoài dấu ngoặc, viết những nhân tử còn sót lại của từng hạng tử vào trong vệt ngoặc (và cả vệt của chúng).
* Ví dụ. phân tích các đa thức sau thành nhân tử.
a) 15x3 - 5x2 + 10x = 5x.(3x2) + 5x.(-x) + 5x.(2) = 5x(3x2 - x + 2)
b) 28x2y2 - 21xy2 + 14x2y = 7xy.(4xy) + 7xy.(-3y) + 7xy.(2x) = 7xy(4xy - 3y + 2x)
2. Phân tích đa thức thành nhân tử với cách thức dùng hằng đẳng thức
* Phương pháp:
- chuyển đổi đa thức bạn đầu về dạng rất gần gũi của hằng đẳng thức, tiếp đến sử dụng hằng đẳng thức để làm xuất hiên nhân tử chung.
- Cần chú ý đến việc vận dụng linh hoạt các hằng đẳng thức xứng đáng nhớ:
♦ (A+B)2= A2+2AB+B2
♦ (A–B)2= A2– 2AB+ B2
♦ A2–B2= (A-B)(A+B)
♦ (A+B)3= A3+3A2B +3AB2+B3
♦ (A – B)3= A3- 3A2B+ 3AB2- B3
♦ A3+ B3= (A+B)(A2- AB +B2)
♦ A3- B3= (A- B)(A2+ AB+ B2)
♦ (A+B+C)2= A2+ B2+C2+2 AB+ 2AC+ 2BC
* Chú ý: a+b= -(-a-b) ; (a+b)2= (-a-b)2 ; (a-b)2= (b-a)2 ; (a+b)3= -(-a-b)3 ; (a-b)3=-(-a+b)3
* Ví dụ: Phân tích các nhiều thức sau thành nhân tử.
a) 9x2 – 4 = (3x)2 – 22 = ( 3x– 2)(3x + 2)
b) 8 – 27x3y6 = 23 – (3xy2)3 = (2 – 3xy2)(4 + 6xy2 + 9x2y4)
c) 25x4 – 10x2y + y2 = (5x2 – y)2
3. Giải pháp phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm các hạng tử
* Phương pháp:
- phối kết hợp các hạng tử phù hợp thành từng nhóm.
- Áp dụng liên tiếp các phương thức đặt nhân tử chung hoặc sử dụng hằng đẳng thức.
* Ví dụ: Phân tích các nhiều thức sau thành nhân tử
a) 2x3 – 3x2 + 2x – 3 = ( 2x3 + 2x) – (3x2 + 3)
= 2x(x2 + 1) – 3( x2 + 1) = ( x2 + 1)( 2x – 3)
b) x2 – 2xy + y2 – 16 = (x – y)2 - 42 = ( x – y – 4)( x –y + 4)
4. Cách thêm sút 1 hạng tử hoặc bóc tách hạng tử để phân tích nhiều thức thành nhân tử
* Phương pháp:
- áp dụng thêm bớt hạng tử linh hoạt để mang về team hạng tử thông thường hoặc dùng hằng đẳng thức
* Ví dụ: Phân tích các nhiều thức sau thành nhân tử
a) x4 + 4 = x4 + (4x2 - 4x2) + 4 = x4 + 4x2 + 4 - 4x2 = (x2+2)2 - 4x2
= (x2+2-2x)(x2+2+2x)
b) x4 + 1 = x4 + 2x2 - 2x2 + 1 = x4 + 2x2 + 1 - 2x2 = (x2+1)2 - 2x2 = (x2+1)2 - (x√2)2
= (x2+1-x√2)(x2+1+x√2)
c) 3x2 + 8x + 4 = 3x2 + 8x + 16 - 12 = (3x2 – 12) + (8x + 16) = 3(x2 - 4) + 8(x+2)
=3(x-2)(x+2) + 8(x+2) =(x + 2)<3(x-2)+8> =(x + 2)(3x + 2)
hoặc: 3x2 + 8x + 4 = 4x2 - x2 + 8x + 4 = (4x2 + 8x + 4) – x2 = (2x + 2)2 – x2
= (2x + 2 – x)(2x + 2 + x) = (x + 2)(3x + 2)
5. Phối vừa lòng nhiều phương pháp để phân tích nhiều thức thành nhân tử
* Phương pháp: Sử dụng các phương pháp trên theo sản phẩm tự ưu tiên.
- phương thức đặt nhân tử chung.
- phương thức dùng hằng đẳng thức.
- cách thức nhóm các hạng tử.
* Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
a) 3xy2 - 6xy + 3x
= 3x(y2 – 2y + 1) (đặt nhân tử chung)
= 3x(y – 1)2 (dùng hằng đẳng thức (A–B)2= A2– 2AB+ B2 trong bước này A là y B là 1)
b) 2x2 + 4x + 2 - 2y2
= 2((x2 + 2x +1) - y2) (đặt nhân tử chung)
= 2((x+1)2 - y2) (dùng hằng đẳng thức: (A+B)2= A2+2AB+B2) trong đoạn này A là x; B là 1)
= 2(x+1-y)(x+1+y) (dùng hằng đẳng thức: A2–B2= (A-B)(A+B) trong bước này A là x+ 1 còn B là y)
II. Vận dụng giải một số dạng bài tập phân tích đa thức thành nhân tử
Bài 39 trang 19 skg toán 8 tập 1: Phân tích đa thức thành nhân tử
a) 3x - 6y;
b)
c) 14x2y – 21xy2 + 28x2y2;
d)
e) 10x(x - y) - 8y(y - x).
* giải thuật bài 39 trang 19 skg toán 8 tập 1:
a) 3x - 6y = 3(x-2y)
b)
c) 14x2y – 21xy2 + 28x2y2 = 7xy.2x - 7xy.3y +7xy.4xy = 7xy(2x-3y+4xy)
d)
e) 10x(x - y) - 8y(y - x)
- Ta thấy: y - x = –(x – y) cần ta có:
10x(x - y) - 8y(y - x) =10x(x - y) - 8y<-(x - y)> =10x(x - y) + 8y(x - y) =2(x-y)(5x+4y)
Bài 40 trang 19 skg toán 8 tập 1: Tính quý hiếm của biểu thức
a) 15.91,5 + 150.0,85;
b) x(x - 1) - y(1 - x) trên x = 2001 và y = 1999.
* giải mã bài 40 trang 19 skg toán 8 tập 1:
- lưu lại ý: với dạng bài tập này họ cần phân tích hạng tử để xuất hiện thêm nhân tử bình thường rồi đối chiếu thành nhân tử trước lúc tính giá chỉ trị.
a) 15.91,5 + 150.0,85 =15.91,5 + 15.10.0,85 =15(91,5 + 10.0,85) =15(91,5 + 8,5) =15.100 =1500.
b) x(x - 1) - y(1 - x)
- Ta thấy: 1 - x = -(x - 1) phải ta có:
x(x - 1) - y(1 - x) =x(x-1)-y<-(x-1)> =x(x-1)+y(x-1) =(x-1)(x+y)
- Thay x = 2001 với y = 1999 ta được: (2001-1)(2001+1999) =2000.4000 =8000000
Bài 41 trang 19 skg toán 8 tập 1: Tìm x, biết:
a) 5x(x -2000) - x + 2000 = 0;
b) x3 – 13x = 0
* giải thuật bài 41 trang 19 skg toán 8 tập 1:
a) 5x(x -2000) - x + 2000 = 0
⇔ 5x(x – 2000) – (x – 2000) = 0
⇔ (x – 2000).(5x – 1) = 0
⇔
- kết luận có 2 quý giá x tán thành là x = 2000 cùng x = 1/5.
b) x3 = 13x ⇔ x3 – 13x = 0 ⇔ x(x2 – 13) = 0
⇔
- Kết luận: Có cha giá trị của x thỏa mãn là x = 0, x = √13 với x = –√13.
Bài 42 trang 19 skg toán 8 tập 1: chứng minh rằng 55n + 1 – 55n chia hết đến 54 (với n là số trường đoản cú nhiên)
* Lời giải Bài 42 trang 19 skg toán 8 tập 1:
- Ta có: 55n + 1 – 55n = 55n.55 - 55n = 55n (55 - 1) = 55n.54
- vị 54 chia hết mang lại 54 phải 55n.54 luôn luôn chia hết mang lại 54 với n là số tự nhiên.
⇒ Vậy 55n + 1 – 55n chia hết mang lại 54.
Bài 43 trang 20 skg toán 8 tập 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) x2 + 6x + 9; b) 10x – 25 – x2
c) ; d)
* lời giải bài 43 trang 20 skg toán 8 tập 1:
a) x2 + 6x + 9 = (x)2 + 2.(x).(3) + (3)2 = (x+3)2
b) 10x – 25 – x2 = –(–10x + 25 + x2) = –(x2 - 10x + 25)
= –<(x)2 – 2.(5).(x) + (5)2> = –(x–5)2
c)
d)
Bài 44 trang đôi mươi skg toán 8 tập 1: Phân tích những đa thức sau thành nhân tử:
a) ; b) (a + b)3 – (a – b)3
c) (a + b)3 + (a – b)3 ;
d) 8x3 + 12x2y + 6xy2 + y3
e) - x3 + 9x2 – 27x + 27.
* lời giải bài 44 trang trăng tròn skg toán 8 tập 1:
a)
b) (a + b)3 – (a – b)3
= <(a + b) – (a – b)> . <(a + b)2 + (a + b).(a – b) + (a – b)2>
= (a + b – a + b) . (a2 + 2ab + b2 + a2 – b2+ a2 – 2ab + b2)
= 2b.(3a2+ b2)
c) (a + b)3 + (a – b)3
= <(a + b) + (a – b)> . <(a + b)2 – (a + b)(a –b) + (a – b)2>
= <(a + b) + (a – b)> . <(a2 + 2ab + b2) – (a2 – b2) + (a2 – 2ab + b2)>
= (a + b + a – b) . (a2 + 2ab + b2 – a2 + b2 + a2 – 2ab + b2)
= 2a.(a2 + 3b2)
d) 8x3 + 12x2y + 6xy2 + y3 = (2x)3 + 3.(2x)2.y + 3.2x.y2 + y3 = (2x + y)3
e) –x3 + 9x2 – 27x + 27= (–x)3 + 3.(–x)2.3 + 3.(–x).32 + 33 = (–x + 3)3 = (3 – x)3
Bài 45 trang trăng tròn skg toán 8 tập 1: Tìm x, biết:
a) 2 - 25x2 = 0
b)
* giải thuật bài 45 trang đôi mươi skg toán 8 tập 1:
a) 2 - 25x2 = 0
- Kết luận: vậy tất cả 2 nghiệm thoả là x = -√2/5 với x= √2/5.
b)
- Kết luận: vậy có 1 nghiệm thoả là x=1/2.
Xem thêm: Phân Tích Nhân Vật Khách Trong Bài Phú Sông Bạch Đằng Hay Nhất (Dàn Ý
Bài 46 trang 21 skg toán 8 tập 1: Tính nhanh
a) 732 - 272 ; b) 372 - 132 ; c) 20022 - 22
* lời giải bài 46 trang 21 skg toán 8 tập 1:
a) 732 – 272 = (73 + 27)(73 – 27) = 100.46 = 4600
b) 372 – 132 = (37 + 13)(37 – 13) = 50.24 = 100.12 = 1200
c) 20022 – 22 = (2002 + 2)(2002 – 2) = 2004 .2000 = 4008000
Bài 47 trang 22 skg toán 8 tập 1: Phân tích những đa thức sau thành nhân tử
a) x2 –xy + x – y
b) xz + yz – 5(x + y)
c) 3x2 – 3xy – 5x + 5y
* giải mã bài 47 trang 22 skg toán 8 tập 1:
a) x2 – xy + x – y
+) Cách 1: Nhóm nhì hạng tử thiết bị 1 và thứ 2, hạng tử máy 3 và thứ 4
x2 – xy + x – y = (x2 – xy) + (x – y) = x(x – y) + (x – y)= (x – y)(x + 1)
+) cách 2: Nhóm hạng tử sản phẩm 1 cùng thứ 3 ; hạng tử thứ hai và thứ 4
x2 – xy + x – y = (x2 + x) – (xy + y)= x.(x + 1) – y.(x + 1) = (x + 1)(x – y)
b) xz + yz – 5(x + y) = (xz + yz) – 5(x + y) = z(x + y) – 5(x + y) = (x + y)(z – 5)
c) 3x2 – 3xy – 5x + 5y
+) Cách 1: Nhóm nhì hạng tử đầu tiên với nhau với hai hạng tử cuối với nhau:
3x2 – 3xy – 5x + 5y = (3x2 – 3xy) – (5x – 5y) = 3x(x – y) – 5(x – y) = (x – y)(3x – 5)
+) cách 2: Nhóm hạng tử lần đầu với hạng tử thiết bị 3; hạng tử thứ hai với hạng tử lắp thêm 4:
3x2 – 3xy – 5x + 5y = (3x2 – 5x) – (3xy – 5y) = x(3x – 5) – y(3x – 5)= (3x – 5)(x – y).