dấn xét. Với câu (b) của lấy ví dụ như này, ta thấy có xuất hiện thêm thêm những đa thức đựng dấu trịtuyệt đối là |x − 1|, |x|. Tưởng chừng vấn đề này sẽ gây trở ngại hơn trong vấn đề giải quyết, vìphương trình đựng dấu trị hoàn hảo nhất thì thường khó phân tích thành nhân tử. Cơ mà nhờ việcsử dụng phương pháp nhân lượng liên hợp, vấn đề này đã có giải mau lẹ và tương đối nhẹnhàng. Khi ấy, ta chỉ việc chuyển các lượng ấy về đúng vị trí với sử dụng phương pháp nhânlượng liên hợp là đủ.Cách tiếp cận bằng nhân lượng liên hợp cho phép ta dám thay đổi các biểu thức một bí quyết tựdo hơn, dễ chịu và thoải mái hơn, không bị gò bó các quá ở vấn đề lựa lựa chọn biểu thức thật phù hợp hayđánh giá bán như trong các cách khác




Bạn đang xem: Cách nhân lượng liên hợp

*
*

Bạn đang xem nội dung tài liệu Phương pháp nhân lượng phối hợp giải các bài toán về phương trình vô tỉ, để cài tài liệu về máy các bạn click vào nút tải về ở trên


Xem thêm: Khi Xà Phòng Hóa Tripanmitin Ta Thu Được Sản Phẩm Là, Khí Xà Phòng Hóa Tripanmitin Ta Thu Được Muối Là

http://onluyentoan.vnPHƯƠNG PHÁP NHÂN LƯỢNG LIÊN HỢPGIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈLê Phúc Lữ12Phương pháp nhân lượng liên hợp là 1 trong những cách giải quen thuộc được áp dụng không hề ít trongcác việc giải phương trình cùng hệ phương trình vô tỉ. Bí quyết giải đơn giản dễ dàng và kết quả nàykhông hầu hết giúp ta tiếp cận việc theo hướng tự nhiên hơn mà còn khiến cho ta tự tạo đượcnhiều bài bác toán mới lạ một bí quyết dễ dàng, thông qua đó rất có thể tự tập luyện thêm các kỹ năngcho mình. Trong nội dung bài viết này, bọn họ sẽ thuộc tìm làm rõ hơn về phương pháp nhân lượngliên hợp cũng như những điều cần chăm chú khi áp dụng nó.1 kỹ năng cần nhớ và một vài bài toán mở đầu1.1 kiến thức và kỹ năng cần nhớỞ lịch trình THCS, họ đã khá thân thuộc với những vấn đề về biến hóa biểu thứcvô tỉ bằng phương pháp dùng đại lượng tương xứng để khử căn nhằm mục đích làm mở ra nhân tử. Điều đóđược thực hiện nhờ những hằng đẳng thức cơ phiên bản sau3:• a2 − b2 = (a− b)(a+ b)⇔ a− b = a2 − b2a+ b.• a3 − b3 = (a− b)(a2 + ab+ b2)⇔ a− b = a3 − b3a2 + ab+ b2.• a4 − b4 = (a− b)(a+ b)(a2 + b2)⇔ a− b = a4 − b4(a+ b)(a2 + b2).• · · ·• an − bn = (a− b)(an−1 + an−2b+ · · ·+ abn−2 + bn−1).Sử dụng ý tưởng này, trong số bài toán về phương trình cùng hệ phương trình, chúng ta có thểnhóm hoặc thêm bớt các đại lượng tương xứng vào những biểu thức cất căn rồi làm xuất hiện cácđa thức. Nhờ bài toán phân tích các đa thức đó thành nhân tử làm xuất hiện thêm ra thừa số chung, ta1Sinh viên trường Đại học tập FPT, tp Hồ Chí Minh. Nickname chienthan sinh hoạt Diễn bọn Cùng nhau vượtĐại dương 2Bài viết được trình diễn lại bởi chương trình soạn thảo LaTeX vày can_hang2007. Đề nghị chúng ta ghi rõnguồn của khi đăng cài đặt trên các trang web khác.3Ở phía trên ta tạm hiểu là những biểu thức đã vừa lòng điều kiện của phép chia.1http://onluyentoan.vn2 Lê Phúc Lữđưa việc đã mang đến về các phương trình tích thân thuộc và tự đó giải pháp xử lý tiếp. Tất nhiên là cónhiều yếu tố không giống cần chăm chú nhưng với các bài toán thông thường thì ý tưởng phát minh tổng quát lác là:Giả sử trong phương trình, hệ phương trình yêu cầu xét, bọn họ có biểu thức dạng√P (x) vớiP (x) là một đa thức làm sao đó. Bằng cách nhẩm nghiệm, ta tìm kiếm được x = a là 1 nghiệm củanó. Khi đó, ta sẽ tiếp tế biểu thức trên đại lượng −√P (a) để có được biến đổi sau√P (x)−√P (a) =P (x)− p (a)√P (x) +√P (a).Đa thức p. (x) − p (a) sống trên tử rõ ràng hoàn toàn có thể phân tích thành (x − a)G(x) nên sau khi làmcác các bước thêm bớt tựa như vào rất nhiều đại lượng còn lại, họ sẽ đạt được ngay nhântử nên tìm.Như thế, tổng quát hơn, nếu như ta có phương trình dạng f(x) = 0 với f(x) khẳng định trên miền Dvà ta đã biết nó có nghiệm là x = a ∈ D thì ta bao gồm thể biến hóa đưa nó về dạng (x− a)g(x) = 0và quy về xử lý phương trình mới g(x) = 0.Trong các trường thích hợp thì g(x) sẽ vô nghiệm bên trên D, mặc dù một số trường hợp khác thìnó sẽ vẫn còn đấy nghiệm nữa và điều đó đòi hỏi vô số cách xử lý ham mê hợp.1.2 các ví dụ minh họaVí dụ 1. Giải phương trình sau:√x+ 1 +√x+ 4 +√x+ 9 +√x+ 16 =√x+ 100.Lời giải. Điều kiện: x > −1. Ta thấy x = 0 là một trong nghiệm của phương trình nên hoàn toàn có thể tiếnhành biến hóa như sau(√x+ 1− 1)+ (√x+ 4− 2)+ (√x+ 9− 3)+ (√x+ 16− 4) = (√x+ 100− 10)⇔ (x+ 1)− 12√x+ 1 + 1+(x+ 4)− 22√x+ 4 + 2+(x+ 9)− 32√x+ 9 + 3+(x+ 16)− 42√x+ 16 + 4=(x+ 100)− 102√x+ 100 + 10⇔ x√x+ 1 + 1+x√x+ 4 + 2+x√x+ 9 + 3+x√x+ 16 + 4=x√x+ 100 + 10⇔x = 01√x+ 1 + 1+1√x+ 4 + 2+1√x+ 9 + 3+1√x+ 16 + 4=1√x+ 100 + 10Xét phương trình:1√x+ 1 + 1+1√x+ 4 + 2+1√x+ 9 + 3+1√x+ 16 + 4=1√x+ 100 + 10. (1)Ta có√x+ 100 + 10 >√x+ 1 + 1 > 0 nên1√x+ 1 + 1>1√x+ 100 + 10,suy ra1√x+ 1 + 1+1√x+ 4 + 2+1√x+ 9 + 3+1√x+ 16 + 4>1√x+ 100 + 10, ∀x > −1và cho nên vì thế phương trình (1) vô nghiệm. Vậy phương trình đã cho tất cả nghiệm độc nhất vô nhị x = 0.http://onluyentoan.vnPhương pháp nhân lượng liên hợp giải những bài toán về phương trình vô tỉ 3Ví dụ 2. Giải các phương trình sau:(a) 3√x+√x+ 3 = 3; (b) 3√2x+ 1 + 3√x = 1.Lời giải. (a) Điều khiếu nại xác định: x > −3. Phương trình đang cho tương tự với(3√x− 1)+ (√x+ 3− 2) = 0⇔ x− 13√x2 + 3√x+ 1+x− 1√x+ 3 + 2= 0⇔ (x− 1)(13√x2 + 3√x+ 1+1√x+ 3 + 2)= 0⇔x− 1 = 013√x2 + 3√x+ 1+1√x+ 3 + 2= 0Từ đây, ta thấy x = 1 là một nghiệm của phương trình. Xét x 6= 1, lúc đó theo các thay đổi ởtrên, ta có13√x2 + 3√x+ 1+1√x+ 3 + 2= 0.Tuy nhiên, vấn đề đó không thể xảy ra do√x+ 3 + 2 > 0 và3√x2 + 3√x+ 1 =(3√x+12)2+34> 0.Vậy phương trình sẽ cho bao gồm một nghiệm độc nhất vô nhị x = 1.(b) Phương trình đã cho tương đương với(3√2x+ 1− 1)+ 3√x = 0⇔ (2x+ 1)− 13√(2x+ 1)2 + 3√2x+ 1 + 1+ 3√x = 0⇔ 2x3√(2x+ 1)2 + 3√2x+ 1 + 1+ 3√x = 0⇔ 3√x 2 3√x23√(2x+ 1)2 + 3√2x+ 1 + 1+ 1 = 0⇔x = 023√x23√(2x+ 1)2 + 3√2x+ 1 + 1+ 1 = 0Dễ thấy23√x23√(2x+ 1)2 + 3√2x+ 1 + 1+ 1 > 0, ∀x ∈ Rnên tự trên, ta suy ra x = 0 là nghiệm nhất của phương trình đang cho.Ví dụ 3. Tìm toàn bộ các nghiệm thực của phương trình sau:√x2 + 15 = 33√x2 +√x2 + 8− 2.Lời giải. Phương trình đang cho tương tự với(√x2 + 15− 4) = 3( 3√x2 − 1)+ (√x2 + 8− 3)⇔ x2 − 1√x2 + 15 + 4=3(x2 − 1)3√x4 +3√x2 + 1+x2 − 1√x2 + 8 + 3.http://onluyentoan.vn4 Lê Phúc LữNhư vậy, ta gồm x2 = 1 hoặc1√x2 + 15 + 4=33√x4 +3√x2 + 1+1√x2 + 8 + 3.Tuy nhiên, do√x2 + 8 + 3 3√2. Phương trình vẫn cho tương tự với(3√x2 − 1− 2)+ (x− 3) = (√x3 − 2− 5)⇔ (x− 3)<1 +x+ 33√(x2 − 1)2 + 2 3√x2 − 1 + 4>=(x− 3)(x2 + 3x+ 9)√x3 − 2 + 5⇔x = 31 +x+ 33√(x2 − 1)2 + 2 3√x2 − 1 + 4 =x2 + 3x+ 9√x3 − 2 + 5Xét phương trình:1 +x+ 33√(x2 − 1)2 + 2 3√x2 − 1 + 4 =x2 + 3x+ 9√x3 − 2 + 5 . (1)Ta tất cả các review sau:• V p. = x2 + 3x+ 9√x3 − 2 + 5 >x2 + 3x+ 9√x3 + 5> x2 + 3x+ 9x2+x2+ 5= 2 +2(2x− 1)x2 + x+ 10> 2.• V T 3√2, ta tất cả V T 9.Thật vậy, ta có(x2 + 4x+ 7)<4 + 2 3√3x+ 5 +3√(3x+ 5)2>=<(x+ 2)2 + 3> <(3√3x+ 5 + 1)2+ 3>> 9và đẳng thức xảy ra khi còn chỉ khi{x+ 2 = 03√3x+ 5 + 1 = 0⇔ x = −2.Từ đây ta suy ra (1) có nghiệm nhất x = −2. Vậy phương trình đã đến có toàn bộ hainghiệm là x = 1 cùng x = −2.Cách 2. Ta sẽ biến hóa phương trình đã cho theo cách khác ví như sau:x3 + 3x2 − 3 3√3x+ 5 = 1− 3x⇔ (x3 + 3x2 − 4) + 3 (x+ 1− 3√3x+ 5) = 0⇔ (x− 1)(x+ 2)2 + 3<(x+ 1)3 − 3x− 5>(x+ 1)2 + (x+ 1) 3√3x+ 5 + 3√(3x+ 5)2= 0⇔ (x− 1)(x+ 2)2 + 3(x3 + 3x2 − 4)(x+ 1)2 + (x+ 1) 3√3x+ 5 + 3√(3x+ 5)2= 0⇔ (x− 1)(x+ 2)21 + 3(x+ 1)2 + (x+ 1) 3√3x+ 5 + 3√(3x+ 5)2 = 0.Biểu thức trong ngoặc vuông luôn dương với mọi x ∈ R buộc phải ta suy ra phương trình đã đến cóhai nghiệm là x = 1 và x = −2.http://onluyentoan.vn6 Lê Phúc LữNhận xét. Ở cách trước tiên của câu (b), vày chỉ tìm kiếm được một nghiệm của phương trình làx = 1 nên giải thuật dẫn mang lại một phương trình khác mà ta nên dùng bất đẳng thức đánh giá đểtìm nghiệm còn lại. Trong lúc đó, ở phương pháp 2, vì chưng đã kiếm được cả nhị nghiệm của phương trình đãcho nên hoàn toàn có thể chủ cồn nhóm các hạng tử để làm cho nhân tử chung là (x− 1)(x+2), còn lạibiểu thức trong ngoặc đã luôn luôn dương với mọi x nên việc giải phương trình coi như hoàn tất.Các bước phân tích để có được bí quyết nhóm trên đang được reviews rõ ở các bài sau. Dưới đây làcách thông dụng khi giải bài toán này, đó đó là đưa về hệ phương trình đối xứng, một cáchgiải quan trọng dùng nhằm xử lý những bài phương trình có bậc hai vế là nghịch hòn đảo của nhau.Cách 3. Phương trình đang cho rất có thể được viết dưới dạng(x+ 1)3 − 2 = 3 3√3x+ 5.Đặt 3√3x+ 5 = y + 1 thì ta bao gồm (y + 1)3 = 3x+ 5. Tự đây và từ phương trình làm việc trên, ta gồm hệ{(x+ 1)3 = 3y + 5(y + 1)3 = 3x+ 5Trừ vế theo vế các phương trình, ta được(x− y) <(x+ 1)2 + (x+ 1)(y + 1) + (y + 1)2 + 3> = 0⇔ x = y(Do biểu thức trong ngoặc vuông luôn dương với đa số x, y ∈ R). Nạm y = x ngược trở về vàohệ, ta được phương trình khớp ứng là(x+ 1)3 = 3x+ 5.Giải ra cùng thử lại, ta cũng khá được các nghiệm x = 1 cùng x = −2.Ví dụ 5. Giải những phương trình sau:(a) (x+ 3)√2x2 + 1 = x2 + x+ 3; (b) (x+ 3)√x2 + 5 = 2x2 + 3x+ 1.Lời giải. (a) dễ thấy x = −3 ko là nghiệm của phương trình cần ta chỉ việc xét x 6= −3là đủ. Lúc đó, phương trình đang cho rất có thể được viết lại dưới dạng√2x2 + 1 =x2 + x+ 3x+ 3⇔√2x2 + 1− 1 = x2x+ 3⇔ 2x2√2x2 + 1 + 1=x2x+ 3⇔x = 0 2√2x2 + 1 + 1=1x+ 3Từ trên đây ta suy ra x = 0 là một nghiệm của phương trình sẽ cho. Xét phương trình còn lại, tathấy phương trình này tương đương với√2x2 + 1 + 1 = 2x+ 6⇔ √2x2 + 1 = 2x+ 5⇔x > −522x2 + 1 = 4x2 + 25 + 20x⇔x > −52x2 + 10x+ 12 = 0⇔x > −52x = −5 +√13 ∨ x = −5−√13⇔ x = −5 +√13.Vậy phương trình đang cho có hai nghiệm là x = 0 với x = −5 +√13.http://onluyentoan.vnPhương pháp nhân lượng phối hợp giải những bài toán về phương trình vô tỉ 7(b) tương tự như bài trên, ta thấy x = −3 không là nghiệm của phương trình. Xét x 6= −3, ta cóphương trình tương đương√x2 + 5 =2x2 + 3x+ 1x+ 3⇔√x2 + 5− 3 = 2x2 + 3x+ 1x+ 3− 3⇔ x2 − 4√x2 + 5 + 3=2(x2 − 4)x+ 3⇔x2 − 4 = 01√x2 + 5 + 3=2x+ 3Nếu x2 − 4 = 0 thì ta có x = ±2 và hai cực hiếm này thỏa mãn phương trình vẫn cho. Còn vớix2 − 4 6= 0 thì từ thay đổi trên, ta có1√x2 + 5 + 3=2x+ 3⇔ x+ 3 = 2√x2 + 5 + 6⇔ x− 3 = 2√x2 + 5⇔{x > 3x2 + 9− 6x = 4(x2 + 5) ⇔{x > 33x2 + 6x+ 11 = 0Rõ ràng không tồn tại giá trị nào của x thỏa mãn hệ này. Cùng như thế, ta đi đến tóm lại phươngtrình đang cho gồm hai nghiệm là x = −2 và x = 2.Ví dụ 6. Giải các phương trình sau:(a)√x− 1 +√x+ 3 + 2√(x− 1)(x2 − 3x+ 5) = 4− 2x;(b)√x− 1−√x+ 3 + 2√(x− 1)(x2 − 3x+ 5) = −2x;(c)√x− 1 +√x+ 3 + 2√(x− 1)(x2 − 3x+ 5) = 2x.Lời giải. (a) Điều kiện: x > 1. Với đk này, ta dễ dàng thấy:• V T > √x+ 3 > 2 cùng đẳng thức xẩy ra khi còn chỉ khi x = 1.• V phường 6 2 và đẳng thức cũng xẩy ra khi còn chỉ khi x = 1.Do vậy, để rất có thể xảy ra trường hòa hợp V T = V phường như sẽ nêu sinh hoạt đề bài thì ta phải gồm V T = V p = 2,tức x = 1. Vậy phương trình vẫn cho gồm nghiệm duy nhất x = 1.(b) Điều kiện: x > 1. Ta nhẩm được x = 1 là nghiệm của phương trình và vấn đề này gợi cho tanghĩ mang đến việc đổi khác phương trình như sau√x− 1−√x+ 3 + 2√(x− 1)(x2 − 3x+ 5) = −2x⇔ √x− 1 + 2√(x− 1)(x2 − 3x+ 5) = √x+ 3− 2x⇔ √x− 1 + 2√(x− 1)(x2 − 3x+ 5) = −(x− 1)(4x+ 3)√x+ 3 + 2x.Ta thấy rằng với x > 1 thì vế trái của phương trình trên là một trong đại lượng không âm, trongkhi kia vế phải luôn luôn mang cực hiếm 6 0. Bởi đó, để có thể xảy ra được vệt đẳng thức như trênthì cả nhì đại lượng này nên đồng thời bằng 0, có nghĩa là x = 1. Vậy x = một là nghiệm duy nhấtcủa phương trình sẽ cho.http://onluyentoan.vn8 Lê Phúc Lữ(c) Điều kiện: x > 1. Biến đổi tương trường đoản cú như trên, ta được√x− 1 + 2√(x− 1)(x2 − 3x+ 5) = (x− 1)(4x+ 3)√x+ 3 + 2x⇔ √x− 1<1 + 2√x2 − 3x+ 5−√x− 1(4x+ 3)√x+ 3 + 2x>= 0⇔√x− 1 = 01 + 2√x2 − 3x+ 5 =√x− 1(4x+ 3)√x+ 3 + 2xĐến đây, bằng phương pháp giải phương trình thiết bị nhất, ta tìm kiếm được một nghiệm là x = 1. Xét tiếpphương trình trang bị hai, ta thấy1 + 2√x2 − 3x+ 5 = 1 +√2 > 1 +√2x2 > 1 + x.Mặt khác, theo bất đẳng thức AM-GM thì x = (x− 1) + 1 > 2√x− 1. Bởi vì vậy, ta có√x− 1(4x+ 3)√x+ 3 + 2x6√x− 1(4x+ 3)2x6x2· (4x+ 3)2x=4x+ 34 2. Ta có phương trình đã cho tương tự với2(x− 3) +(√x+ 6− 3√x− 2)= 0⇔ 2(x− 3) + (x+ 6)− 9(x− 2)√x+ 6 + 3√x− 2 = 0⇔ (x− 3)<1− 4√x+ 6 + 3√x− 2>= 0⇔ 0, ∀x ∈<−13, 6>nên trường hợp đồ vật hai tất yêu xảy ra. Từ phía trên ta suy ra phương trình đã cho chỉ tất cả mộtnghiệm tuyệt nhất là x = 5.Ví dụ 8. Giải các phương trình với bất phương trình sau:(a) 3√2x+ 2 + 3√2x+ 1 =3√2x2 + 3√2x2 + 1;(b)√3− x+√2 + x = x3 + x2 − 4x− 4 + |x|+ |x− 1|;(c) 2√x2 + x+ 1x+ 4+ x2 − 4 6 2√x2 + 1.Lời giải. (a) Ta thấy rằng ở hai vế đều phải sở hữu dạng hàm số f(t) = 3√t+ 3√t+ 1 nên hoàn toàn có thể dùngtính đối kháng điệu của hàm số để giải dễ dàng. Ở đây, ta dùng phương thức nhân phối hợp nhằmlàm lộ diện nhân tử chung ở nhị vế. Trước hết, ta viết lại phương trình bên dưới dạng(3√2x2 + 1− 3√2x+ 2)+(3√2x2 − 3√2x+ 1)= 0.Bằng biện pháp nhân các lượng phối hợp tương ứng, ta có3√2x2 + 1− 3√2x+ 2 = 2x2 − 2x− 13√(2x2 + 1)2 + 3√(2x2 + 1)(2x+ 2) + 3√(2x+ 2)2=2x2 − 2x− 1Avà3√2x2 − 3√2x+ 1 = 2x2 − 2x− 13√(2x2)2 + 3√2x2(2x+ 1) + 3√(2x+ 1)2=2x2 − 2x− 1B.Do đó, phương trình đã cho tương tự với(2x2 − 2x− 1)(1A+1B)= 0.Tuy nhiên, vày A, B > 0 phải từ phía trên ta có2x2 − 2x− 1 = 0⇔ x = 1−√32∨ x = 1 +√32.Vậy phương trình sẽ cho gồm hai nghiệm là x = 1−√32và x = 1+√32.http://onluyentoan.vn10 Lê Phúc Lữ(b) Điều kiện: −2 6 x 6 3. Phương trình đang cho tương đương với(√3− x− |x− 1|)+ (√2 + x− |x|) = x3 + x2 − 4x− 4⇔ −x2 + x+ 2√3− x+ |x− 1| +−x2 + x+ 2√2 + x+ |x| = (x+ 2)(x+ 1)(x− 2)⇔ (2− x)(x+ 1)√3− x+ |x− 1| +(2− x)(x+ 1)√2 + x+ |x| + (x+ 2)(x+ 1)(2− x) = 0⇔ (2− x)(x+ 1)<1√3− x+ |x− 1| +1√2 + x+ |x| + (x+ 2)>= 0.Do 1√3−x+|x−1| +1√2+x+|x| + (x+ 2) > 0, ∀x ∈ <−2, 3> buộc phải từ trên, ta có(2− x)(x+ 1) = 0⇔ x = −1 ∨ x = 2.Vậy phương trình đã cho tất cả hai nghiệm là x = −1 cùng x = 2.(c) Điều kiện: x > −4. Bất phương trình sẽ cho tương tự với2(√x2 + x+ 1x+ 4− 1)+ x2 − 3 6 2√x2 + 1− 1⇔ 2 ·x2+x+1x+4− 1√x2+x+1x+4+ 1+ x2 − 3 64x2+1− 12√x2+1+ 1⇔ 2 (x2 − 3)√(x+ 4)(x2 + x+ 1) + x+ 4+ (x2 − 3) + x2 − 3(2 +√x2 + 1)√x2 + 16 0.Và như thế, ta thu được(x2 − 3)<2√(x+ 4)(x2 + x+ 1) + x+ 4+ 1 +1(2 +√x2 + 1)√x2 + 1>6 0.Dễ thấy biểu thức trong vệt ngoặc trang bị hai luôn luôn dương với đa số x > −4, cho nên ta rất có thể viếtlại bất phương trình trên thànhx2 − 3 6 0⇔ −√3 6 x 6√3.Kết phù hợp với điều kiện xác định x > −4, ta thu được T = <−√3, √3> là tập nghiệm của bấtphương trình vẫn cho.Nhận xét. Cùng với câu (b) của lấy ví dụ như này, ta thấy có mở ra thêm các đa thức chứa dấu trịtuyệt đối là |x − 1|, |x|. Tưởng chừng vấn đề này sẽ gây khó khăn hơn trong bài toán giải quyết, vìphương trình cất dấu trị tuyệt vời nhất thì thường khó phân tích thành nhân tử. Nhưng lại nhờ việcsử dụng phương thức nhân lượng liên hợp, vấn đề này đã có được giải mau lẹ và hơi nhẹnhàng. Lúc ấy, ta chỉ cần chuyển những lượng ấy về đúng vị trí cùng sử dụng cách thức nhânlượng phối hợp là đủ.Cách tiếp cận bằng nhân lượng liên hợp chất nhận được ta dám biến đổi các biểu thức một bí quyết tựdo hơn, dễ chịu và thoải mái hơn, không bị gò bó nhiều quá ở việc lựa chọn biểu thức thật thích hợp hayđánh giá bán như trong số cách khác.