Căn thức (căn bậc 2, căn bậc 3) là nội dung kỹ năng mà những em học ở ngay lập tức chương 1 đại số lớp 9, phần bài tập về căn thức cũng thường xuyên xuyên xuất hiện trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT.

Bạn đang xem: Cách giải phương trình chứa căn


Có những dạng bài bác tập về căn thức như: rút gọn biểu thức, tính quý giá của biểu thức, giải phương trình, hệ phương trình,... Tuy nhiên, trong nội dung bài viết này họ tập trung tò mò cách giải phương trình chứa dấu căn, qua đó vận dụng giải một số bài tập về phương trình cất căn thức nhằm rèn luyện kỹ năng giải toán.


» Đừng vứt lỡ: Cách giải phương trình cất ẩn ở mẫu mã cực hay

I. Kỹ năng cần nhớ khi giải phương trình đựng dấu căn

• 

*

• 

*

• 

*

• 

*

• 

*
 với e ≥ 0 là hằng số

i) trường hợp: 

*
 hoặc 
*
 thì:

+ bước 1: Tìm đk của x nhằm f(x) ≥ 0

+ cách 2: Bình phương 2 vế phương trình để khử căn.

+ cách 3: Giải phương trình nhằm tìm nghiệm x vừa lòng điều kiện

* lấy ví dụ như 1 (Bài 25 trang 16 SGK Toán 9 Tập 1): Tìm x?

a) b) 

c) d)

° Lời giải:

a) (*)

- Điều kiện: x ≥ 0, khi ấy bình phương 2 vế ta có:

 

*

- Ta thấy x = 4 thỏa đk nên pt tất cả nghiệm x = 4.

b)  (*)

- Điều kiện: x ≥ 0, khi ấy bình phương 2 vế ta có:

 

*

- Ta thấy x = 5/4 thỏa điều kiện nên pt gồm nghiệm x = 5/4.

c) (*)

- Điều kiện: x - 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ 1; lúc ấy ta tất cả (ở bày này ta hoàn toàn có thể rút gọn gàng hệ số trước lúc bình phương 2 vế):

 

*

 

*
 
*

- Ta thấy x = 50 thỏa đk nên pt tất cả nghiệm x = 50.

d) (*)

- do (1 - x)2 ≥ 0 ∀x phải pt xác minh với hầu như giá trị của x.

 

*

*

→ Vậy phương trình tất cả 2 nghiệm x = -2 hoặc x = 4

* ví dụ 2: Giải các phương trình sau:

a)  b) 

*

° Lời giải:

a)  (*)

- Điều kiện: 

*

- lúc đó bình phương 2 vế ta được:

*
 
*

- Đối chiếu điều kiện (x ≥ 3/2) ta thấy x = 50% không thỏa điều kiện này, đề xuất ta KHÔNG dấn nghiệm này. Tóm lại pt vô nghiệm.

ii) trường hợp:  (*) thì ta cần kiểm tra biểu thức f(x).

+) nếu f(x) = ax2 + bx + c = (Ax ± B)2 có nghĩa là có dạng hằng đẳng thức thì KHAI CĂN, tức là:

 

*
*

+) Nếu  không bao gồm dạng hằng đẳng thức thì ta thực hiện quá trình sau:

- cách 1: Điều kiện f(x) ≥ 0

- bước 2: Bình phương 2 vế phương trình để khử căn thức

- bước 3: Giải phương trình bậc 2 (bằng phương pháp phân tích thành nhân tử mang đến pt tích).

* lấy một ví dụ 1: Giải phương trình sau:

*
 (*)

° Lời giải:

- Vì: 2x2 - 8x + 8 = 2(x2 - 4x + 4) = 2(x - 2)2 cần ta có:

 

*

 

*
 
*

* ví dụ như 2: Giải phương trình sau: 

*
 (*)

° Lời giải:

- Ta thấy: x2 - 4x + 6 = x2 - 4x + 4 + 2 = (x - 2)2 + 2 không có dạng (Ax ± B)2 nên ta triển khai như sau:

- Điều kiện: x2 - 4x + 6 ≥ 0 ⇔ (x - 2)2 + 2 ≥ 0 ∀x yêu cầu biểu thức xác định với phần nhiều giá trị của x.

- Bình phương 2 vế phương trình ta được:

(x - 2)2 + 2 = 11 ⇔ (x - 2)2 = 9 

*

- Kết luận: Phương trình có 2 nghiệm x = -1 và x = 5.

2. Giải phương trình đựng dấu căn dạng: 

*

* cách thức giải:

- cách 1: Viết điều kiện của phương trình: 

*

- cách 2: nhận dạng từng loại tương xứng với các cách giải sau:

 ¤ một số loại 1: nếu f(x) bao gồm dạng hằng đẳng thức (Ax ± B)2 thì khai căn đem về phương trình trị tuyệt đối hoàn hảo để giải.

 ¤ các loại 2: nếu f(x) = Ax ± B với g(x) = Ex ± D thì dùng phương pháp bình phương 2 vế.

 ¤ các loại 3: ví như f(x) = Ax2 + Bx + C cùng g(x) = Ex ± D thì dùng phương pháp bình phương 2 vế.

 ¤ loại 4: giả dụ f(x) = Ax2 + Bx + C cùng g(x) = Ex2 + Dx + F thì thử phân tích f(x) và g(x) thành nhân tử, nếu như chúng có nhân tử tầm thường thì để nhân tử chung đem đến phương trình tích.

- cách 3: khám nghiệm nghiệm kiếm được có vừa lòng điều khiếu nại không kế tiếp kết luận nghiệm của phương trình.

* lấy một ví dụ 1: Giải phương trình sau:

° Lời giải:

- Ta có:  

 

*

 

*

- Vậy phương trình vô nghiệm

* lấy ví dụ như 2: Giải phương trình sau:  (*)

° Lời giải:

- Ta có: 

 

*

- Vậy phương trình tất cả vô số nghiệm x ≤ 3.

* lấy ví dụ như 3: Giải phương trình sau:

*
 

° Lời giải:

- Điều kiện: 

*

- Bình phương 2 vế ta được:

 2x - 3 = (x - 1)2 ⇔ 2x - 3 = x2 - 2x + 1

 ⇔ x2 - 4x + 4 = 0 ⇔ (x - 2)2 = 0 ⇔ x = 2.

- Đối chiếu với điều kiện ta thấy x = 2 thỏa điều kiện nên phương trình dìm nghiệm này.

- Phương trình tất cả nghiệm x = 2.

* lấy ví dụ như 4: Giải phương trình sau:

*
 (*)

° Lời giải:

- Ta thấy: f(x) = x2 - 5x - 6 không có dạng hằng đẳng thức (Ax ± B)2 (và vế phải là dạng hàm bậc 1) yêu cầu để khử căn ta dùng phương pháp bình phương 2 vế.

- Điều kiện: 

*
 khi kia ta bình phương 2 vế được:

*

*

- kiểm tra x = -10 có thỏa mãn nhu cầu điều khiếu nại không bằng phương pháp thay quý giá này vào các biểu thức điều kiện thấy không thỏa

→ Vậy phương trình vô nghiệm.

3. Giải phương trình chứa dấu căn dạng: 

*
 

* Để giải phương trình dạng này ta thực hiện các bước sau:

- cách 1: Nếu f(x) cùng h(x) bao gồm chứa căn thì đề nghị có điều kiện biểu thức vào căn ≥ 0.

- bước 2: Khử căn thức chuyển phương trình về dạng pt trị xuất xắc đối: |f(x)| ± |h(x)| = g(x).

- bước 3: Xét dấu trị hoàn hảo và tuyệt vời nhất (khử trị giỏi đối) để giải phương trình.

* lấy ví dụ như 1: Giải phương trình: 

*
 (*)

° Lời giải:

- Điều kiện: x ≥ 0.

- phương diện khác, ta thấy: 

*
 và 
*
 nên ta có:

 

*
 (**)

- Ta xét các trường hợp nhằm phá vết trị giỏi đối:

+) TH1: Nếu 

*
, ta có:

 

*

⇒ Phương trình có vô số nghiệm x ≥ 9.

+) TH2: Nếu

*

° Lời giải:

- Điều kiện: x ≥ 1

- thừa nhận thấy: 

*

*

- Đến phía trên xét những trường vừa lòng giải giống như ví dụ 1 sinh hoạt trên.

4. Phương pháp giải một trong những phương trình chứa căn khác.

i) phương thức đặt ẩn phụ nhằm giải phương trình đựng dấu căn.

* lấy ví dụ 1: Giải phương trình sau: 

*
 (*)

° Lời giải:

- Điều kiện: x ≥ 0

 Đặt

*
 khi đó ta gồm pt (*) trở thành:

 

*

- cả hai nghiệm t phần nhiều thỏa đk nên ta có:

 

*

 

*

(Cách giải pt bậc 2 một ẩn những em vẫn học ngơi nghỉ nội dung bài xích chương sau).

* lấy ví dụ 2: Giải phương trình sau: 

*
 (*)

° Lời giải:

- Điều kiện: 

*

 Đặt 

*
, lúc ấy pt(*) trở thành:

 

*

- Ta thấy pt(**) tất cả dạng nghỉ ngơi mục 2) loại 3; với điều kiện 5 - t ≥ 0 ⇔ t ≤ 5; ta bình phương 2 vế (**) được:

 t2 + 5 = (5 - t)2 ⇔ t2 + 5 = t2 - 10t + 25 ⇔ 10t = 20 ⇔ t= 2

- với t = 2 thỏa đk 0≤ t ≤ 5 đề xuất ta có:

*

→ Phương trình tất cả nghiệm x = 6.

* ví dụ như 3: Giải phương trình sau:

*
 (*)

° Lời giải:

- Điều kiện: x2 - 2x - 3 ≥ 0. Lúc đó ta có:

*

 Đặt 

*
 khi kia pt(**) trở thành:

 

*

- Đối chiếu điều kiện thì t = -5 nhiều loại và t = 2 nhận.

 Với t = 2 ⇒ x2 - 2x - 3 = 4 ⇔ x2 - 2x - 7 = 0 ⇔ (x2 - 2x + 1) - 8 = 0.

 

*

- kiểm tra thấy 2 nghiệm x bên trên thỏa đk nên pt bao gồm 2 nghiệm. X = 1 ± 2√2.

Xem thêm: Cách Tìm 2 Số Khi Biết Tổng Và Tích Lớp 4, Toán Nâng Cao Lớp 4

ii) phương thức đánh giá chỉ biểu thức dưới vết căn (lớn hơn hoặc nhỏ hơn 1 hằng số) nhằm giải phương trình cất căn thức.

- Áp dụng với phương trình cất căn thức dạng: 

*
 (với c,d>0 với c+d=e)

- PT có thể cho ngay lập tức dạng này hoặc gồm thể tách một thông số nào đó để sở hữu 2; 2 hay 2;