Trong lịch trình lớp 9, phương trình số 1 2 ẩn có 2 phương thức để giải, đó là phương pháp cộng đại số và cách thức thế, gồm sự khác biệt nào về ưu điểm yếu kém của 2 phương pháp này.

Bạn đang xem: Cách giải hệ phương trình bậc 2


Trong nội dung bài viết này, chúng ta cùng tìm hiểu 2 phương pháp giải trên đối với phương trình hàng đầu 2 ẩn. Giải các bài tập về hệ phương trình số 1 2 ẩn cùng với từng phương thức cộng đại số và phương thức thế, đồng thời tìm hiểu các dạng toán về phương trình hàng đầu 2 ẩn, từ đó nhằm thấy ưu thế của mỗi phương thức và áp dụng linh hoạt trong những bài toán cầm thể.

I. Tóm tắt kim chỉ nan về phương trình hàng đầu 2 ẩn

1. Phương trình bậc nhất 2 ẩn

- Phương trình hàng đầu hai ẩn: ax + by = c cùng với a, b, c ∈ R (a2 + b2 ≠ 0)

- Tập nghiệm của phương trình số 1 hai ẩn: Phương trình hàng đầu hai ẩn ax + by = c luôn luôn tất cả vô số nghiệm. Tập nghiệm của chính nó được màn biểu diễn bởi con đường thẳng (d): ax + by = c

Nếu a ≠ 0, b ≠ 0 thì con đường thẳng (d) là đồ gia dụng thị hàm số :
*
Nếu a ≠ 0, b = 0 thì phương trình biến đổi ax = c giỏi x = c/a và đường thẳng (d) tuy nhiên song hoặc trùng cùng với trục tungNếu a = 0, b ≠ 0 thì phương trình vươn lên là by = c tốt y = c/b và đường thẳng (d) tuy vậy song hoặc trùng với trục hoành

2. Hệ hai phương trình số 1 hai ẩn

+ Hệ phương trình số 1 2 ẩn: 

*
 , trong đó a, b, c, a’, b’, c’ ∈ R

+ Minh họa tập nghiệm của hệ nhị phương trình bậc nhất hai ẩn

- hotline (d): ax + by = c, (d’): a’x + b’y = c’, khi ấy ta có:

(d) // (d’) thì hệ vô nghiệm(d) cắt (d’) thì hệ bao gồm nghiệm duy nhất(d) ≡ (d’) thì hệ gồm vô số nghiệm

+ Hệ phương trình tương đương: Hệ hai phương trình tương đương với nhau nếu chúng gồm cùng tập nghiệm

II. Cách giải hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn

1. Giải hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn bằng phương pháp cộng đại số

a) Quy tắc cùng đại số

- Quy tắc cùng đại số cần sử dụng để thay đổi một hệ phương trình thành hệ phương trình tương đương gồm hai bước:

- bước 1: cộng hay trừ từng vế hai phương trình của hệ phương trình đã mang lại để được một phương trình mới.

- cách 2: sử dụng phương trình bắt đầu ấy thay thế sửa chữa cho một trong các hai phương trình của hệ (và không thay đổi phương trình kia).

b) Cách giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số.

- cách 1: Nhân các vế của hai phương trình với số phù hợp (nếu cần) làm sao để cho các hệ số của một ẩn nào đó trong nhì phương trình của hệ đều nhau hoặc đối nhau.

- bước 2: áp dụng quy tắc cộng đại số để được hệ phương trình mới, trong số ấy có một phương trình mà hệ số của 1 trong những hai ẩn bằng 0 (tức là phương trình một ẩn).

- bước 3: Giải phương trình một ẩn vừa thu được rồi suy ra nghiệm của hệ vẫn cho.

 Ví dụ: Giải các hệ PT hàng đầu 2 ẩn sau bằng PP cùng đại số:

a) 

*

b)

*

* Lời giải:

a)

*
(lấy PT(1) + PT(2))

 

*

b)

*
 (lấy PT(1) - PT(2))

 

*

2. Giải hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn bằng phương thức thế

a) Quy tắc thế

- Quy tắc gắng dùng để đổi khác một hệ phương trình thành hệ phương trình tương đương. Luật lệ thế bao gồm hai cách sau:

- bước 1: xuất phát điểm từ một phương trình của hệ đã cho (coi là phương trình thức nhất), ta màn trình diễn một ẩn theo ẩn tê rồi nắm vào phương trình thức hai và để được một phương trình mới (chỉ còn một ẩn).

- bước 2: sử dụng phương trình bắt đầu ấy để thay thế cho phương trình thức nhị trong hệ (phương trình thức duy nhất cũng thường xuyên được sửa chữa bởi hệ thức màn biểu diễn một ẩn theo ẩn kia dành được ở bước 1).

b) Cách giải hệ phương trình bằng phương pháp thế

- bước 1: dùng quy tắc cầm cố để biến đổi phương trình đã mang lại để được một hệ phương trình mới, trong đó có một phương trình một ẩn.

- cách 2: Giải phương trình một ẩn vừa có, rồi suy ra nghiệm của hệ vẫn cho.

 Ví dụ: Giải hệ phương trình sau bằng phương thức thế

a)

*

b)

*

* Lời giải:

a) 

*

 

*

b) 

*

 

*

III. Một trong những dạng toán phương trình hàng đầu 2 ẩn

Dạng 1: Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế

* Phương pháp: xem phần nắm tắt lý thuyết

Bài 12 trang 15 sgk toán 9 tập 2: Giải các hệ phương trình sau bằng cách thức thế

a) 

*
b) 
*

c) 

*

* Giải bài xích 12 trang 15 sgk toán 9 tập 2:

a) 

*

*

⇒ Kết luận: hệ PT gồm nghiệm độc nhất vô nhị (10;7)

b)

*

*

*

⇒ Kết luận: hệ PT gồm nghiệm độc nhất (11/19;-6/19)

c)

*

*

⇒ Kết luận: hệ PT bao gồm nghiệm độc nhất vô nhị (25/19;-21/19)

* thừa nhận xét: Qua bài 12 này, các em thấy cách thức thế đã sử dụng dễ dàng hơn khi 1 trong các phương trình của hệ có những hệ số của x hoặc y là một hoặc -1. Khi đó chỉ cần rút x hoặc y sinh sống phương trình bao gồm hệ số là 1 trong những hoặc -1 này và gắng vào phương trình còn sót lại để giải hệ.

- Đối với các hệ PT trình mà không có hệ số nào của x cùng y là 1 trong hoặc -1 thì vấn đề sử dụng cách thức thế làm cho phát sinh những phân số và vấn đề cộng trừ dễ làm ta sai sót hơn hẳn như là bài 13 dưới đây.

Bài 13 trang 15 sgk toán 9 tập 2: Giải hệ PT sau bằng phương thức thế

a) 

*
b)
*

* Giải bài Bài 13 trang 15 sgk toán 9 tập 2:

a) 

*

*

*

⇒ Kết luận: hệ PT tất cả nghiệm tuyệt nhất (7;5)

b)

*

*

⇒ Kết luận: hệ PT bao gồm nghiệm duy nhất (3;3/2)

Dạng 2: Giải hệ phương trình bằng phương thức cộng đại số

* Phương pháp: xem phần tóm tắt lý thuyết

Bài đôi mươi trang 19 sgk toán 9 tập 2: Giải các hệ PT sau bởi PP cộng đại số

a) 

*
b)
*

c)

*
d)
*

e)

*

* giải thuật bài 20 trang 19 sgk toán 9 tập 2:

a)

*

Lưu ý: mang PT(1)+PT(2)

  ⇒ Kết luận: hệ PT có nghiệm nhất (2;-3)

b)

*

Lưu ý: đem PT(1)-PT(2)

⇒ Kết luận: hệ PT tất cả nghiệm tốt nhất (2;-3)

c)

*
(Nhân 2 vế PT(2) cùng với 2 để thông số của x ở hai PT bằng nhau)

 

*

(lấy PT(1) - PT(2))

⇒ Kết luận: hệ PT tất cả nghiệm độc nhất (2;-3)

d)

*
 (Nhân 2 vế PT(1) cùng với 3, 2 vế PT(2) cùng với 2)

*

(Lấy PT(1)-PT(2))

⇒ Kết luận: hệ PT gồm nghiệm duy nhất (-1;0)

e) 

*
 (Nhân 2 vế PT(1) với 5)

*
 (Lấy PT(1)-PT(2))

⇒ Kết luận: hệ PT bao gồm nghiệm nhất (5;3)

* dìm xét: khi không có bất kỳ hệ số làm sao của x, y là 1 hay -1 thì phương thức cộng đại số giúp những em đỡ nhầm lẫn rộng trong phép tính.

Dạng 3: Giải hệ phương trình bằng phương thức đặt ẩn phụ

* Phương pháp:

- bước 1: Đặt đk để hệ có nghĩa

- bước 2: Đặt ẩn phụ và đk của ẩn phụ

- bước 3: Giải hệ theo các ẩn phụ đã đặt (sử dụng pp chũm hoặc pp cùng đại số)

- bước 4: quay lại ẩn ban đầu để tìm kiếm nghiệm của hệ

 Ví dụ: Giải hệ phương trình sau

a) 

*
b)
*

* Lời giải:

a) Điều kiện: x, y ≠ 0 (mẫu số khác 0).

 Đặt: 

*
 ta có hệ thuở đầu trở thành:

 

*

- trở về ẩn lúc đầu x với y ta có:

*

 ⇒ thỏa điều kiện, buộc phải hệ có nghiệm tốt nhất (1;1)

b) Điều kiện: x ≠ -1 cùng y ≠ 3 (mẫu số khác 0)

 Đặt: 

*
 ta tất cả hệ lúc đầu trở thành:

*

 Trở lại ẩn ban sơ x với y ta có: 

 

*
 

⇒ thỏa điều kiện, buộc phải hệ gồm nghiệm duy nhất (-5/4;6)

Dạng 4: xác minh tọa độ giao điểm của 2 con đường thẳng

* Phương pháp:

- Tọa độ giao điểm chính là nghiệm của hệ được tạo bởi 2 phương trình đường thẳng sẽ cho.

 Ví dụ: Tìm tọa độ giao điểm của 2 đường thẳng sau:

a) d1: 2x - y = 3 và d2: x + y = 3

b) d1: 2x + y = 5 và d2: x - 3y = 6

* Lời giải:

a) Tọa độ điểm I là giao của d1 và d2 là nghiệm của hệ: 

*

 - Giải hệ bằng một trong những 2 cách thức cộng đại số hoặc thế:

⇒ Tọa độ giao điểm I của d1 và d2 là (2;1).

b) Tọa độ điểm I là giao của d1 và d2 là nghiệm của hệ: 

*
*

⇒ Tọa độ giao điểm I của d1 và d2 là (4;-2).

Xem thêm: Cách Giải Hệ Đẳng Cấp Bậc 2, 3 Hệ Phương Trình Đẳng Cấp Bậc 2:

Dạng 5: Giải với biện luận hệ phương trình

* Phương pháp:

+ xuất phát từ 1 phương trình của hệ, rút y theo x (sử dụng phương pháp thế) rồi cụ vào phương trình sót lại để được phương trình dạng ax +b = 0, rồi thực hiện quá trình biện luận như sau:

- ví như a ≠ 0, thì x = b/a; nạm vào biểu thức để tìm y; hệ gồm nghiệm duy nhất.

- giả dụ a = 0, ta có, 0.x = b:

_ nếu b = 0 thì hệ có rất nhiều nghiệm

_ nếu b ≠ 0 thì hệ vô nghiệm

 Ví dụ: Giải biện luận hệ phương trình sau: 

*

* Lời giải

- từ bỏ PT(1) ta có: y = mx - 2m, nắm vào PT(2) ta được:

x - m(mx-2m) = m + 1

⇔ x - m2x + 2m2 = m + 1

⇔ (1 - m2)x = -2m2 + m + 1

⇔ (1 - m)(1 + m)x = 1 - m2 + m - m2

⇔ (1 - m)(1 + m)x = (1 - m)(1+m)+ m(1 - m)

⇔ (1 - m)(1 + m)x = (1 - m)(1+m)+ m(1 - m)

⇔ (1 - m)(1 + m)x = (1 - m)(1+2m) (3)

* nếu m ≠ ±1, ta có: 

*

khi đó: 

*

⇒ Hệ gồm nghiệm duy nhất: 

* trường hợp m = -1, cố vào (3) ta được: 0.x = -2 ⇒ hệ vô nghiệm

* ví như m = 1, thay vào (3) ta được: 0.x = 0 ⇒ hệ có vô số nghiệm, tập nghiệm (x;x-2)