2-Một số phương thức và bài toán tương quan đến phương trình bậc hai áp dụng công thức nghiệm đang cho học sinh học sau.

3-Rèn khả năng và pp minh chứng bất đẳng thức.

B- NỘI DUNG

 PHẦN 1 : CÁC KIẾN THỨC CẦN LƯU Ý

 1- Định nghĩa

 2- Tính chất

 3-Một số hằng bất đẳng thức tuyệt dùng

 




Bạn đang xem: Bất đẳng thức lớp 7

*
28 trang
*
hoangquan
*
*
13277
*
10Download
Bạn đang xem 20 trang chủng loại của tư liệu "Chuyên đề: Bất đẳng thức", để cài tài liệu gốc về máy chúng ta click vào nút DOWNLOAD sinh hoạt trên


Xem thêm: Vegan Là Gì? Vegetarian Là Gì TạI Sao Nãªn ChọN LốI SốNg Vegan

Chuyên đề: Bất đẳng thứca.mục tiêu:1-Học sinh nắm vững một số phương thức chứng minh bất đẳng thức.2-Một số phương thức và bài toán liên quan đến phương trình bậc hai thực hiện công thức nghiệm đang cho học sinh học sau.3-Rèn khả năng và pp chứng tỏ bất đẳng thức.B- ngôn từ Phần 1 : những kiến thức cần xem xét 1- Định nghĩa 2- đặc thù 3-Một số hằng bất đẳng thức hay dùng Phần 2:một số phương phápchứng minh bấtđẳng thức 1-Phương pháp dùng định nghĩa 2- cách thức dùng biến hóa tương đương 3- phương pháp dùng bất đẳng thức không còn xa lạ 4- phương thức sử dụng đặc điểm bắc mong 5- phương thức dùng đặc điểm tỉ số 6- cách thức làm trội 7- cách thức dùng bất đẳng thức vào tam giác 8- phương pháp đổi vươn lên là số 9- phương thức dùng tam thức bậc nhì 10- phương pháp quy hấp thụ 11- phương thức phản hội chứng Phần 3 :các bài xích tập nâng cấp PHầN 4 : áp dụng của bất đẳng thức 1- cần sử dụng bất đẳng thức để tìm rất trị 2-Dùng bất đẳng thức để giải phương trình và bất phương trình 3-Dùng bất đẳng thức giải phương trình nghiệm nguyênPhần I : các kiến thức bắt buộc lưu ý1-Đinhnghĩa2-tính chất + A>B + A>B và B >C + A>B A+C >B + C + A>B và C > D A+C > B + D + A>B với C > 0 A.C > B.C + A>B cùng C B > 0 A > B + A > B A > B cùng với n lẻ + > A > B với n chẵn + m > n > 0 với A > 1 A >A + m > n > 0 cùng 0 0) + ( dấu = xảy ra khi A.B B Ta chứng minh A –B > 0 lưu ý dùng hằng bất đẳng thức M 0 với" M ví dụ 1 " x, y, z minh chứng rằng : a) x + y + z xy+ yz + zx b) x + y + z 2xy – 2xz + 2yz c) x + y + z+3 2 (x + y + z) Giải: a) Ta xét hiệu x + y + z- xy – yz - zx =.2 .( x + y + z- xy – yz – zx) =đúng với tất cả x;y;z vày (x-y)2 0 với"x ; y vệt bằng xảy ra khi x=y (x-z)2 0 với"x ; z dấu bằng xảy ra khi x=z (y-z)2 0 với" z; y vệt bằng xảy ra khi z=y Vậy x + y + z xy+ yz + zx dấu bằng xảy ra khi x = y =z b)Ta xét hiệu x + y + z- ( 2xy – 2xz +2yz ) = x + y + z- 2xy +2xz –2yz =( x – y + z) đúng với đa số x;y;z Vậy x + y + z 2xy – 2xz + 2yz đúng với đa số x;y;z vết bằng xẩy ra khi x+y=z c) Ta xét hiệu x + y + z+3 – 2( x+ y +z ) = x- 2x + 1 + y -2y +1 + z-2z +1 = (x-1)+ (y-1) +(z-1) 0 Dấu(=)xảy ra lúc x=y=z=1Ví dụ 2: chứng tỏ rằng :a) ;b) c) Hãy tổng quát bài toángiảia) Ta xét hiệu = = = Vậy vệt bằng xẩy ra khi a=bb)Ta xét hiệu = VậyDấu bằng xảy ra khi a = b =cc)Tổng quátTóm lại công việc để minh chứng AB theo định nghĩa bước 1: Ta xét hiệu H = A - B cách 2:Biến thay đổi H=(C+D)hoặc H=(C+D)+.+(E+F) bước 3:Kết luận A ³ BVí dụ:(chuyên Nga- Pháp 98-99) chứng tỏ "m,n,p,q ta đều phải có m+ n+ p+ q+1³ m(n+p+q+1) Giải: (luôn đúng)Dấu bằng xẩy ra khi phương thức 2 : cần sử dụng phép đổi khác tương đươngLưu ý: Ta chuyển đổi bất đẳng thức cần chứng tỏ tương đương cùng với bất đẳng thức đúng hoặc bất đẳng thức sẽ được minh chứng là đúng. để ý các hằng đẳng thức sau: lấy một ví dụ 1: mang lại a, b, c, d,e là những số thực minh chứng rằng a) b) c) Giải: a) (bất đẳng thức này luôn luôn đúng) Vậy (dấu bằng xẩy ra khi 2a=b) b) Bất đẳng thức cuối đúng. Vậy lốt bằng xẩy ra khi a=b=1 c) Bất đẳng thức đúng vậy ta có điều nên chứng minhVí dụ 2: minh chứng rằng: Giải: a2b2(a2-b2)(a6-b6) 0 a2b2(a2-b2)2(a4+ a2b2+b4) 0Bất đẳng thứccuối đúng vậy ta tất cả điều phải chứng tỏ Ví dụ 3: mang lại x.y =1 với x.y chứng tỏ Giải: bởi vì :xy nên x- y 0 x2+y2 ( x-y) x2+y2- x+y 0 x2+y2+2- x+y -2 0 x2+y2+()2- x+y -2xy 0 bởi x.y=1 nên 2.x.y=2(x-y-)2 0 Điều này luôn luôn đúng . Vậy ta gồm điều phải chứng minhVí dụ 4: 1)CM: P(x,y)= 2)CM: (gợi ý :bình phương 2 vế) 3)choba số thực khác không x, y, z thỏa mãn: minh chứng rằng :có đúng một trong các ba số x,y,z to hơn 1 (đề thi Lam sơn 96-97) Giải: Xét (x-1)(y-1)(z-1)=xyz+(xy+yz+zx)+x+y+z-1 =(xyz-1)+(x+y+z)-xyz()=x+y+z - ( (vì1 x.y.z>1 xích míc gt x.y.z=1 cần phải xẩy ra trường phù hợp trên có nghĩa là có đúng một trong ba số x ,y ,z là số to hơn 1Phương pháp 3: sử dụng bất đẳng thức thân quen thuộcA/ một trong những bất đẳng thức hay sử dụng 1) những bất đẳng thức phụ: a) b) dấu( = ) khi x = y = 0 c) d) 2)Bất đẳng thức Cô sy: cùng với 3)Bất đẳng thức Bunhiacopski 4) Bất đẳng thức Trê- bư-sép: nếu Nếu vệt bằng xẩy ra khib/ những ví dụ ví dụ 1 mang lại a, b ,c là các số ko âm minh chứng rằng (a+b)(b+c)(c+a)8abcGiải: cách 1:Dùng bất đẳng thức phụ: Tacó ; ; (a+b)(b+c)(c+a)8abc dấu “=” xảy ra khi a = b = cví dụ 2(tự giải): 1)Cho a,b,c>0 và a+b+c=1 CMR: (403-1001) 2)Cho x,y,z>0 cùng x+y+z=1 CMR:x+2y+z 3)Cho a>0 , b>0, c>0 CMR: 4)Cho x,y thỏa mãn nhu cầu ;CMR: x+y ví dụ 3: cho a>b>c>0 và chứng tỏ rằng Giải: vì chưng a,b,c đối xứng ,giả sử abc áp dụng BĐT Trê- bư-sép ta gồm == Vậy vết bằng xẩy ra khi a=b=c= lấy một ví dụ 4: mang đến a,b,c,d>0 cùng abcd =1 .Chứng minh rằng :Giải:Ta bao gồm Do abcd =1 bắt buộc cd = (dùng ) Ta tất cả (1) phương diện khác: =(ab+cd)+(ac+bd)+(bc+ad) = Vậy ví dụ như 5: cho 4 số a,b,c,d bất kỳ chứng minh rằng: Giải: dùng bất đẳng thức Bunhiacopski tacó ac+bd mà lại ví dụ 6: chứng minh rằng Giải: cần sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopski phương pháp 1: Xét cặp số (1,1,1) cùng (a,b,c) ta gồm 3 Điều phải chứng minh Dấu bằng xẩy ra khi a=b=cPh ương pháp 4: Sử dụng đặc thù bắc cầuLưu ý: A>B cùng b>c thì A>c 00 thỏa mãn a> c+d , b>c+d minh chứng rằng ab >ad+bc Giải: Tacó (a-c)(b-d) > cd ab-ad-bc+cd >cd ab> ad+bc (điều cần chứng minh)ví dụ 2: cho a,b,c>0 thỏa mãn chứng minh Giải: Ta có :( a+b- c)2= a2+b2+c2+2( ab –ac – bc) 0 ac+bc-ab ( a2+b2+c2) ac+bc-ab 1 chia hai vế mang đến abc > 0 ta tất cả ví dụ 3 mang lại 0 1-a-b-c-d Giải: Ta gồm (1-a).(1-b) = 1-a-b+ab bởi a>0 , b>0 bắt buộc ab>0 (1-a).(1-b) > 1-a-b (1) vì c 0 ta gồm (1-a).(1-b) ( 1-c) > 1-a-b-c (1-a).(1-b) ( 1-c).(1-d) > (1-a-b-c) (1-d)=1-a-b-c-d+ad+bd+cd (1-a).(1-b) ( 1-c).(1-d) > 1-a-b-c-d(Điều đề xuất chứng minh)ví dụ 41- đến 0 0 1+ > + b nhưng mà 0 , > tự (1) với (2) 1+> + Vậy + 0 thì từ ` ví dụ 1 : đến a,b,c,d > 0 .Chứng minh rằng Giải : Theo tính chất của tỉ lệ thức ta có (1) ngoài ra : (2) trường đoản cú (1) và (2) ta tất cả 1 minh chứng rằng Giải: Ta gồm với k = 1,2,3,,n-1 bởi đó: lấy ví dụ 2 : minh chứng rằng: cùng với n là số nguyên Giải :Ta gồm Khi mang đến k chạy từ là 1 đến n ta có một > 2 cộng từng vế những bất đẳng thức trên ta tất cả Ví dụ 3 : chứng tỏ rằng Giải: Ta bao gồm Cho k chạy từ 2 đến n ta tất cả Vậy Ph ương pháp 7: dùng bất đẳng thức trong tam giácLưu ý: trường hợp a;b;clà số đo ba cạnh của tam giác thì : a;b;c> 0 và |b-c| (a+b-c).(b+c-a).(c+a-b) Giảia)Vì a,b,c là số đo 3 cạnh của một tam giác đề xuất ta bao gồm ị cùng từng vế những bất đẳng thức bên trên ta có a2+b2+c2 ờb-c ù ị > 0 b > ờa-c ùị > 0 c > ờa-b ùị Nhân vế các bất đẳng thức ta đượcVí dụ2: (404 – 1001) 1) mang lại a,b,c là chiều dài tía cạnh của tam giác chứng minh rằng 2) cho a,b,c là chiều dài ba cạnh của tam giác bao gồm chu vi bằng 2 chứng minh rằng Ph ương pháp 8: đổi biến sốVí dụ1: cho a,b,c > 0 chứng tỏ rằng (1)Giải :Đặt x=b+c ; y=c+a ;z= a+b ta bao gồm a= ; b = ; c =ta có (1) ( Bất đẳng thức sau cùng đúng do ( ; yêu cầu ta bao gồm điều phải minh chứng Ví dụ2: mang lại a,b,c > 0 cùng a+b+c 0 , b > 0 , c > 0 CMR: 2)Tổng quát mắng m, n, p, q, a, b >0 CMR Ph ương pháp 9: dùng tam thức bậc haiLưu ý : mang đến tam thức bậc hai nếu như thì trường hợp thì nếu thì với hoặc () cùng với Ví dụ1: chứng minh rằng (1) Giải: Ta tất cả (1) Vậy với tất cả x, yVí dụ2: minh chứng rằngGiải: Bất đẳng thức cần chứng tỏ tương đương với Ta có Vì a = vậy (đpcm) Ph ương pháp 10: dùng quy hấp thụ toán họcKiến thức: Để minh chứng bất đẳng thức đúng với ta thực hiện các bước sau : 1 – bình chọn bất đẳng thức đúng cùng với 2 - đưa sử BĐT đúng cùng với n =k (thay n =k vào BĐT cần chứng tỏ được điện thoại tư vấn là trả thiết quy nạp ) 3- Ta chứng tỏ bất đẳng thức đúng với n = k +1 (thay n = k+1vào BĐT cần chứng tỏ rồi biến hóa để cần sử dụng giả thiết quy nạp) 4 – tóm lại BĐT đúng với đa số Ví dụ1: chứng tỏ rằng (1) Giải : cùng với n =2 ta có (đúng) Vậy BĐT (1) đúng cùng với n =2 giả sử BĐT (1) đúng cùng với n =k ta phải chứng minh BĐT (1) đúng với n = k+1 thiệt vậy lúc n =k+1 thì (1) Theo giả thiết quy hấp thụ k2+2k 0 chứng minh rằng (1)GiảiTa thấy BĐT (1) đúng với n=1Giả sử BĐT (1) đúng với n=k ta phải minh chứng BĐT đúng cùng với n=k+1Thật vậy với n = k+1 ta bao gồm (1) (2) Vế trái (2) (3) Ta minh chứng (3) (+) đưa sử a b cùng giả thiết đến a -b a (+) đưa sử a 0 , ab+bc+ac > 0 , abc > 0 minh chứng rằng a > 0 , b > 0 , c > 0 Giải : đưa sử a 0 thì trường đoản cú abc > 0 a 0 vì vậy a 0 và a 0 a(b+c) > -bc > 0 vị a 0 b + c 0 tựa như ta có b > 0 , c > 0 ví dụ 2: cho 4 số a , b , c ,d thỏa mãn điều kiện ac 2.(b+d) .Chứng minh rằng có tối thiểu một trong các bất đẳng thức sau là sai: , Giải : giả sử 2 bất đẳng thức : , đều đúng vào khi đó cộng các vế ta được (1) Theo trả thiết ta bao gồm 4(b+d) 2ac (2) từ (1) và (2) hay (vô lý) Vậy trong 2 bất đẳng thức cùng có ít nhất một các bất đẳng thức saiVí dụ 3: đến x,y,z > 0 cùng xyz = 1. Chứng tỏ rằng nếu x+y+z > thì có 1 trong ba số này lớn hơn 1 Giải : Ta có (x-1).(y-1).(z-1) =xyz – xy- yz + x + y+ z –1 =x + y + z – () do xyz = 1 theo giả thiết x+y +z > nên (x-1).(y-1).(z-1) > 0 Trong cha số x-1 , y-1 , z-1 chỉ có một trong những dương thiệt vậy giả dụ cả tía số dương thì x,y,z > 1 xyz > 1 (trái trả thiết) Còn nếu 2 vào 3 số đó dương thì (x-1).(y-1).(z-1) ab+bc+acGiảiTa có hiệu: b2+c2- ab- bc – ac = b2+c2- ab- bc – ac = ( b2+c2- ab– ac+ 2bc) +3bc =(-b- c)2 + =(-b- c)2 +>0 (vì abc=1 cùng a3 > 36 đề nghị a >0 )Vậy : b2+c2> ab+bc+ac Điều phải chứng minh2) chứng minh rằng a) b) với mọi số thực a , b, c ta có c) Giải : a) Xét hiệu H = = H0 ta có điều phải chứng tỏ b) Vế trái rất có thể viết H = H > 0 ta có điều phải chứng tỏ c) vế trái có thể viết H = H 0 ta có điều đề nghị chứng minhIi / Dùng biến hóa tương đương 1) cho x > y với xy =1 .Chứng minh rằng Giải : Ta có (vì xy = 1) do đó BĐT cần chứng tỏ tương đương với BĐT cuối đúng đề nghị ta tất cả điều nên chứng minh2) mang lại xy 1 .Chứng minh rằng Giải : Ta bao gồm BĐT cuối này đúng bởi vì xy > 1 .Vậy ta bao gồm điều cần chứng minhIii / cần sử dụng bất đẳng thức phụ 1) mang lại a , b, c là các số thực và a + b +c =1 chứng tỏ rằng Giải : vận dụng BĐT BunhiaCôpski mang lại 3 số (1,1,1) cùng (a,b,c) Ta gồm (vì a+b+c =1 ) (đpcm) 2) đến a,b,c là những số dương chứng minh rằng (1) Giải : (1) áp dụng BĐT phụ với x,y > 0 Ta gồm BĐT sau cuối luôn đúng Vậy (đpcm)Iv / dùng phương pháp bắc cầu 1) cho 0 0 .Chứng minh rằng : Giải : do a ,b ,c ,d > 0 nên ta bao gồm (1) (2) (3) Cộng những vế của 4 bất đẳng thức trên ta gồm : (đpcm) 2) mang đến a ,b,c là số đo tía cạnh tam giác minh chứng rằng Giải : vị a ,b ,c là số đo ba cạnh của tam giác bắt buộc ta gồm a,b,c > 0 cùng a 0 với x+y+z =1 Giải : bởi vì x,y,z > 0 ,áp dụng BĐT Côsi ta có x+ y + z vận dụng bất đẳng thức Côsi đến x+y ; y+z ; x+z ta gồm Dấu bằng xẩy ra khi x=y=z= Vậy S Vậy S có mức giá trị lớn nhất là lúc x=y=z= lấy ví dụ như 3 : mang lại xy+yz+zx = 1 Tìm giá chỉ trị nhỏ tuổi nhất của Giải : áp dụng BĐT Bunhiacốpski cho 6 số (x,y,z) ;(x,y,z) Ta bao gồm (1) Ap dụng BĐT Bunhiacốpski mang đến () cùng (1,1,1) Ta có Từ (1) với (2) Vậy có giá trị nhỏ nhất là lúc x=y=z= lấy ví dụ 4 : trong tam giác vuông có cùng cạnh huyền , tam giác vuông nào có diện tích lớn độc nhất vô nhị Giải : gọi cạnh huyền của tam giác là 2a Đường cao nằm trong cạnh huyền là h Hình chiếu những cạnh góc vuông lên cạnh huyền là x,y Ta có S = vị a không đổi mà lại x+y = 2a Vậy S lớn nhất lúc x.y lớn nhất Vậy trong các tam giác tất cả cùng cạnh huyền thì tam giác vuông cân nặng có diện tích s lớn tuyệt nhất Ii/ dùng b.đ.t nhằm giải phương trình cùng hệ phương trình lấy ví dụ như 1 : Giải phương trình sau Giải : Ta tất cả Vậy dấu ( = ) xảy ra khi x+1 = 0 x = -1 Vậy lúc x = -1 Vậy phương trình gồm nghiệm nhất x = -1 ví dụ như 2 : Giải phương trình Giải : áp dụng BĐT BunhiaCốpski ta gồm : vệt (=) xảy ra khi x = 1 mặt khác vết (=) xảy ra khi y = - Vậy lúc x =1 cùng y =- Vậy nghiệm của phương trình là lấy ví dụ như 3 : Giải hệ phương trình sau: Giải : áp dụng BĐT Côsi ta tất cả Vì x+y+z = 1) nên Dấu (=) xẩy ra khi x = y = z = Vậy bao gồm nghiệm x = y = z = ví dụ như 4 : Giải hệ phương trình sau từ bỏ phương trình (1) giỏi Từ phương trình (2) giả dụ x = thì y = 2 trường hợp x = - thì y = -2 Vậy hệ phương trình tất cả nghiệm cùng Iii/ cần sử dụng B.Đ.t nhằm giải phương trình nghiệm nguyên 1) Tìm các số nguyên x,y,z chấp thuận Giải : bởi vì x,y,z là các số nguyên nên (*) Mà những số x,y,z cần tìm là ví dụ 2: tìm kiếm nghiệm nguyên dương của phương trình Giải : không mất tính tổng quát ta giả sử Ta có Mà z nguyên dương vậy z = 1Thay z = 1 vào phương trình ta được Theo giả sử xy nên 1 = nhưng mà y nguyên dương buộc phải y = 1 hoặc y = 2 cùng với y = 1 ko thích phù hợp với y = 2 ta tất cả x = 2 Vậy (2 ,2,1) là 1 nghiệm của phương trình Hoán vị những số trên ta được những nghiệm của phương trình là (2,2,1) ; (2,1,2) ; (1,2,2) lấy một ví dụ 3 : Tìm những cặp số nguyên thoả mãn phương trình (*) Giải : (*) với x 0 , y > 0 Ta tất cả Đặt (k nguyên dương vày x nguyên dương ) Ta có Nhưng nhưng giữa k với k+1 là nhị số nguyên dương liên tục không tồn tại một vài nguyên dương như thế nào cả Nên không tồn tại cặp số nguyên dương nào hợp ý phương trình . Vậy phương trình gồm nghiệm duy nhất là :