Cách chứng minh bất đẳng thức Cosi đến 2 số, 3 số, 4 số, n số ko âm được Trung vai trung phong Gia sư Tiến Bộ phân tách sẻ với bạn đọc.
Bạn đang xem: Bất đẳng thức cosi 3 số
*Tổng quát: vừa phải cộng của n số thực không âm luôn lớn hơn hoặc bằng vừa phải nhân của chúng. Và trung bình cộng chỉ bằng trung bình nhân khi và chỉ lúc n số đó bằng nhau.
1. Chứng minh bất đẳng thức Cosi với 2 số thực a, b không âm
Bất đẳng thức Cosi mang lại 2 số ko âm:
Dấu “=” xảy ra khi với chỉ lúc
Bất đẳng thức đúng với hoặc .
Chứng minh bất đẳng thức Cosi với 2 số dương:⇔
⇔
⇔
Bất đẳng thức đã cho luôn luôn đúng với ∀
2. Chứng minh bất đẳng thức cosi với 3 số thực a, b, c ko âm
Bất đẳng thức Cosi mang lại 3 số ko âm:
Dấu “=” xảy ra khi cùng chỉ khi
Bất đẳng thức đúng với hoặc hoặc .
Chứng minh bất đẳng thức Cosi với 3 số dương:Đặt:
Suy ra:
Suy ra:
Bất đẳng thức được quy về:
Dấu “=” xảy ra lúc
3. Chứng minh bất đẳng thức Cosi với 4 số thực a, b, c, d không âm
Bất đẳng thức Cosi cho 4 số ko âm:
Dấu “=” xảy ra khi cùng chỉ lúc
Bất đẳng thức đúng với hoặc hoặc hoặc
Thay:
Ta được bất đẳng thức Cosi mang lại 3 số dương.
4. Chứng minh bất đẳng thức Cosi với n số thực ko âm
Bất đẳng thức Cosi với n số thực ko âm
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi:
Nếu bất đẳng thức đúng với số thì nó cũng đúng với
Ta bao gồm thể chứng minh đơn giản vì:
Theo quy nạp thì bất đẳng thức đúng với là một lũy thừa của 2.
Xem thêm: Họ Và Tên Tiếng Anh Của Bạn La Gì, Tên Tiếng Anh Của Bạn Là Gì
Mặt khác giả sử bất đẳng thức đúng với n số thì ta cũng chứng minh được nó đúng với n – 1 số như sau:
Theo bất đẳng thức cosi mang lại n số:
Chọn:
→
Đây chính là bất đẳng thức Cosi (n-1) số. Như vậy ta có đpcm.