Có khá nhiều em học sinh gặp vấn đề sử dụng phương pháp tích phân từng phần vào giải bài tập. Có thể không nhớ chính xác lý thuyết, không biết cách áp dụng, …. Thấy được tầm quan trọng của phương pháp này nên hôm nay x-lair.com đã biên soan chi tiết từ công thức căn bản cần nhớ tới cách nhận dạng bài tập để ghép công thức.

Bạn đang xem: Bài tập tích phân từng phần

Một điểm đặc biệt là phần cuối có bài tập kèm lời giải, nó sẽ giúp em nhớ công thức tốt hơn, biết cách nhận dạng bài tập cũng như sử dụng thành thạo công thức khi làm. Bắt đầu nhé


Mục lục ẩn
1. Tích phân từng phần
2. Các dạng bài tập tích phân từng phần
Dạng 1: Hàm số lượng giác và đa thức trong dấu tích phân
Dạng 2: Hàm số lượng giác và hàm số mũ trong dấu tích phân
Dạng 3: Hàm số mũ trong dấu tích phân
Dạng 4: Hàm số logarit trong dấu tích phân
3. Bài tập vận dụng

1. Tích phân từng phần

Công thức tổng quát cần nhớ:

*

2. Các dạng bài tập tích phân từng phần

Phương pháp tính tích phân từng phần chia làm 4 dạng quan trong cần nhớ như sau:

Dạng 1: Hàm số lượng giác và đa thức trong dấu tích phân

Giả sử trong dấu tích phân có dạng $\int\limits_m^n {f\left( x \right)\sin \left( {ax + b} \right)dx} $ hoặc $\int\limits_m^n {f\left( x \right)\cos \left( {ax + b} \right)dx} $ (trong đó f(x) là hàm số đa thức)

Hướng dẫn

Bước 1: Trước tiên ta đặt

*

hoặc

*

Bước 2: Kế tiếp, dựa vào phương pháp đặt trên ta khai triển dấu tích phân thành

*

hoặc

*

Dạng 2: Hàm số lượng giác và hàm số mũ trong dấu tích phân

Giả sử ta cần tính tích phân có biểu thức dạng

*

hoặc

*

Hướng dẫn

– Bước 1: Để làm được dạng toán này, ta cần đặt như sau

*

hoặc

*

Bước 2: Sau đó ta phân tích chúng thành

*

Lưu ý: Khi biến đổi, bạn cần nhớ như sau

– Với dạng toán này thì ta cần tính tích phân từng phần những 2 lần thay vi 1 lần như những dạng khác.

– Ở bước 1, ta cũng có thể đặt

*

hoặc

*

Dạng 3: Hàm số mũ trong dấu tích phân

Xét một tích phân có chứa hàm mũ $\int\limits_m^n {f\left( x \right){e^{ax + b}}dx} {\rm{ }}$ (trong đó f(x) là hàm số đa thức)

Hướng dẫn

Bước 1: Ta tiến hành đặt như sau

*

Bước 2: Dựa vào cách đặt này, ta sẽ biến đổi biểu thức tích phân ở trên như sau

*

Dạng 4: Hàm số logarit trong dấu tích phân

Xét một tích phân có chứa hàm logarit:

*
( Trong đó f(x) là hàm số đa thức)

Hướng dẫn

Bước 1: Ta tiến hành đặt như sau

*

Bước 2: Dựa vào cách đặt ở trên, ta tiến hành khai triển biểu thích có chứa dấu tích phân trên thành

*

3. Bài tập vận dụng

Bài tập 1: Một hàm số f(x) cho trướng, thỏa mãn

*

Tính $I = \int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} $

Lời giải

*

Bài tập 2: Hãy tính tích phần hàm logarit trong dấu $\int\limits_1^2 {\frac{{\ln x}}{{{x^3}}}dx} $

Lời giải

Ta đặt u = lnx

=> Ta lấy đạo hàm $du = \frac{{dx}}{x}$

Tiếp tục đặt $dv = \int\limits_1^2 {\frac{{dx}}{{{x^3}}}} $

=> Đây là tích phân căn bản, ta dễ tính được v như sau: $v = – \frac{1}{{2{x^2}}}$

Áp dụng công thức tích phân từng phần, ta có:

*

Bài tập 3: Hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn < 0; 2> và nó luôn thỏa mãn điều kiện

*

Hãy tính $J = \int\limits_1^2 {\frac{{f\left( x \right)dx}}{{{x^2}}}} $

Lời giải

*

Bài tập 4: Tính các tích phân sau:a. $\int\limits_1^2 {\frac{{\ln x}}{{{x^5}}}dx} .$b. $\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {x\cos xdx} .$c. $\int\limits_0^1 {x{e^x}dx} .$d. $\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{e^x}\cos xdx} .$

a. Đặt $\left\{ \begin{array}{l}u = \ln x\\dv = \frac{1}{{{x^5}}}dx\end{array} \right.$ $ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \frac{{dx}}{x}\\v = – \frac{1}{{4{x^4}}}\end{array} \right.$Do đó: $\int\limits_1^2 {\frac{{\ln x}}{{{x^5}}}dx} $ $ = \left. { – \frac{{\ln x}}{{4{x^4}}}} \right|_1^2 + \frac{1}{4}\int\limits_1^2 {\frac{{dx}}{{{x^5}}}} $ $ = – \frac{{\ln 2}}{{64}} + \left. {\frac{1}{4}\left( { – \frac{1}{{4{x^4}}}} \right)} \right|_1^2$ $ = \frac{{15 – 4\ln 2}}{{256}}.$b. Đặt $\left\{ \begin{array}{l}u = x\\dv = \cos xdx\end{array} \right.$ $ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = dx\\v = \sin x\end{array} \right.$Do đó: $\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {x\cos xdx} $ $ = \left( {x\sin x} \right)\left| \begin{array}{l}\frac{\pi }{2}\\0\end{array} \right. – \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\sin xdx} $ $ = \frac{\pi }{2} + \cos x\left| \begin{array}{l}\frac{\pi }{2}\\0\end{array} \right. = \frac{\pi }{2} – 1.$c. Đặt $\left\{ \begin{array}{l}u = x\\dv = {e^x}dx\end{array} \right.$ $ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = dx\\v = {e^x}\end{array} \right.$Do đó: $\int\limits_0^1 {x{e^x}dx} $ $ = x{e^x}\left| \begin{array}{l}1\\0\end{array} \right. – \int\limits_0^1 {{e^x}dx} $ $ = e – {e^x}\left| \begin{array}{l}1\\0\end{array} \right.$ $ = e – \left( {e – 1} \right) = 1.$d. Đặt $\left\{ \begin{array}{l}u = {e^x}\\dv = \cos xdx\end{array} \right.$ $ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = {e^x}dx\\v = \sin x\end{array} \right.$ $ \Rightarrow \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{e^x}\cos xdx} $ $ = {e^x}\sin x\left| \begin{array}{l}\frac{\pi }{2}\\0\end{array} \right. – \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{e^x}\sin xdx} .$Đặt $\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = {e^x}\\d{v_1} = \sin xdx\end{array} \right.$ $ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}d{u_1} = {e^x}dx\\{v_1} = – \cos x\end{array} \right.$$ \Rightarrow \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{e^x}\cos xdx} $ $ = {e^{\frac{\pi }{2}}} + {e^x}\cos x\left| \begin{array}{l}\frac{\pi }{2}\\0\end{array} \right. – \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{e^x}\cos xdx} $$ \Leftrightarrow 2\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{e^x}\cos xdx} $ $ = {e^{\frac{\pi }{2}}} – 1$ $ \Leftrightarrow \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{e^x}\cos xdx} = \frac{{{e^{\frac{\pi }{2}}} – 1}}{2}.$

Bài tập 5: Tính các tích phân sau:a. $I = \int\limits_1^3 {\frac{{3 + \ln x}}{{{{(x + 1)}^2}}}dx} .$b. $J = \int\limits_{ – 1}^0 {(2{x^2} + x + 1)\ln (x + 2)dx} .$

a. Đặt $\left\{ \begin{array}{l}u = 3 + \ln x\\dv = \frac{{dx}}{{{{(x + 1)}^2}}}\end{array} \right.$ $ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \frac{{dx}}{x}\\v = \frac{{ – 1}}{{x + 1}}\end{array} \right.$$I = – \left. {\frac{{3 + \ln x}}{{x + 1}}{\rm{ }}} \right|_1^3 + \int\limits_1^3 {\frac{{dx}}{{x(x + 1)}}} $ $ = – \frac{{3 + \ln 3}}{4} + \frac{3}{2} + \left. {\ln \left| {\frac{x}{{x + 1}}} \right|} \right|_1^3$ $ = \frac{{3 – \ln 3}}{4} + \ln \frac{3}{2}.$b. Đặt $\left\{ \begin{array}{l}u = \ln (x + 2)\\dv = (2{x^2} + x + 1)dx\end{array} \right.$ $ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \frac{1}{{x + 2}}dx\\v = \frac{2}{3}{x^3} + \frac{1}{2}{x^2} + x\end{array} \right.$$J = (\frac{2}{3}{x^3} + \frac{1}{2}{x^2} + x)\ln (x + 2)\left| {_{ – 1}^0} \right.$ $ – \frac{1}{6}\int\limits_{ – 1}^0 {\frac{{4{x^3} + 3{x^2} + 6x}}{{x + 2}}dx} $$ = – \frac{1}{6}\int\limits_{ – 1}^0 {(4{x^2} – 5x + 16 – \frac{{32}}{{x + 2}})dx} $ $ = – \frac{1}{6}\left. {\left< {\frac{4}{3}{x^3} – \frac{5}{2}{x^2} + 16x – 32\ln (x + 2)} \right>} \right|_{ – 1}^0$$ = \frac{{16}}{3}\ln 2 – \frac{{119}}{{36}}.$

Bài tập 6: Tính tích phân sau: $I = \int\limits_0^{e – 1} {x\ln (x + 1)dx} .$

Đặt $\left\{ \begin{array}{l}u = \ln (x + 1)\\dv = xdx\end{array} \right.$ ta có $\left\{ \begin{array}{l}du = \frac{1}{{x + 1}}dx\\v = \frac{{{x^2} – 1}}{2}\end{array} \right.$Suy ra: $I = \int\limits_0^{e – 1} {x\ln (x + 1)dx} $ $ = \left. {\left< {\ln (x + 1)\frac{{{x^2} – 1}}{2}} \right>} \right|_0^{e – 1}$ $ – \frac{1}{2}\int\limits_0^{e – 1} {(x – 1)dx} $ $ = \frac{{{e^2} – 2e}}{2} – \frac{1}{2}\left( {\frac{{{x^2}}}{2} – x} \right)\left| {_0^{e – 1}} \right.$ $ = \frac{{{e^2} – 3}}{4}.$Chú ý: Trong ví dụ này, ta chọn $v = \frac{{{x^2} – 1}}{2}$ thay vì $v = \frac{{{x^2}}}{2}$ để việc tính tích phân $\int\limits_0^{e – 1} {vdu} $ dễ dàng hơn, như vậy bạn đọc có thể chọn $v$ một cách khéo léo để lời giải được ngắn gọn.

Xem thêm: Học Nhạc Lý - Cách Tự Cơ Bản Đàn Guitar

Bài tập 7. Tính $K = \int\limits_0^\pi {{e^x}\cos 2x{\rm{d}}x} $

Giải

Đặt $\left\{ \begin{array}{l}u = \cos 2x\\dv = {e^x}dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = – 2\sin 2xdx\\v = {e^x}\end{array} \right.$

Suy ra $K = \left( {{e^x}\cos 2x} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{^\pi }\\{_0}\end{array}} \right. + 2\int\limits_0^\pi {{e^x}\sin 2xdx} = {e^\pi } – 1 + 2M$

Tính $M = \int\limits_0^\pi {{e^x}\sin 2xdx} $

Ta đặt $\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = \sin 2x\\d{v_1} = {e^x}dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}d{u_1} = 2\cos 2x\\{v_1} = {e^x}\end{array} \right.$

Suy ra $M = \left( {{e^x}\sin 2x} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{^\pi }\\{_0}\end{array}} \right. – 2\int\limits_0^\pi {{e^x}\cos 2x} = – 2K$

Khi đó $K = {e^\pi } – 1 + 2\left( { – 2K} \right) \Leftrightarrow 5K = {e^\pi } – 1 \Leftrightarrow K = \frac{{{e^\pi } – 1}}{5}$

Bài viết chia sẻ những kiến thức quan trong liên quan tới phương pháp tích phân từng phần. Hy vọng bài viết này giúp ích được cho bạn hiểu hơn về tích phân cũng như biết cách áp dụng vào giải toán.