Bài viết trình bày lý thuyết và những dạng toán phép tịnh tiến trong công tác Hình học 11 chương 1. Kiến thức và kỹ năng và các ví dụ trong bài viết được xem thêm từ các tài liệu phép dời hình cùng phép đồng dạng trong mặt phẳng được share trên x-lair.com.

Bạn đang xem: Bài tập phép tịnh tiến lớp 11

A. KIẾN THỨC CẦN NẮM1. Định nghĩa phép tịnh tiến• Trong khía cạnh phẳng mang lại vectơ $overrightarrow v $. Phép biến đổi hình đổi mới mỗi điểm $M$ thành điểm $M’$ sao cho $overrightarrow MM’ = overrightarrow v $ được hotline là phép tịnh tiến theo vectơ $overrightarrow v $, ký hiệu $T_overrightarrow v .$• $T_overrightarrow v left( M ight) = M’$ $ Leftrightarrow overrightarrow MM’ = overrightarrow v .$2. Biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến:Trong phương diện phẳng tọa độ $Oxy$, cho điểm $Mleft( x;y ight)$ và $overrightarrow v = left( a;b ight).$ khi đó: $M’left( x’;y’ ight) = T_overrightarrow v left( M ight)$ $ Leftrightarrow overrightarrow MM’ = overrightarrow v $ $ Leftrightarrow left{ eginarraylx’ – x = a\y’ – y = bendarray ight.$ $ Leftrightarrow left{ eginarraylx’ = x + a\y’ = y + bendarray ight.$3. Các đặc thù của phép tịnh tiến• Phép tịnh tiến bảo toàn khoảng cách giữa nhì điểm bất kỳ.• Phép tịnh tiến vươn lên là đường trực tiếp thành con đường thẳng tuy vậy song hoặc trùng với mặt đường thẳng đang cho.• Phép tịnh tiến biến hóa đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng đoạn thẳng đang cho.• Phép tịnh tiến biến chuyển tam giác thành tam giác bằng tam giác đang cho.• Phép tịnh tiến đổi mới đường tròn thành con đường tròn có cùng phân phối kính.

B. CÁC DẠNG TOÁN PHÉP TỊNH TIẾNDạng toán 1. Xác định ảnh của một hình qua phép tịnh tiếnPhương pháp: Sử dụng khái niệm và các tính chất hoặc biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến.

Ví dụ 1. Cho tam giác $ABC$, dựng ảnh của tam giác $ABC$ qua phép tịnh tiến theo vectơ $overrightarrow BC .$

*

Ta có: $T_overrightarrow BC left( B ight) = C.$Để tìm hình ảnh của điểm $A$, ta dựng hình bình hành $ABCD.$Do $overrightarrow AD = overrightarrow BC $ nên $T_overrightarrow BC left( A ight) = D.$Gọi $E$ là điểm đối xứng với $B$ qua $C$, khi đó: $overrightarrow CE = overrightarrow BC .$Suy ra $T_overrightarrow BC left( C ight) = E.$Vậy hình ảnh của tam giác $ABC$ là tam giác $DCE$.

Ví dụ 2. Trong khía cạnh phẳng tọa độ $Oxy$ , đến $overrightarrowv=left( -2;3 ight)$. Hãy tìm hình ảnh của điểm $Aleft( 1;-1 ight)$ qua phép tịnh tiến theo vectơ $overrightarrowv$.

Gọi $A’left( x’;y’ ight)$ là hình ảnh của điểm $A$ qua phép tịnh tiến theo vectơ $overrightarrowv$.Áp dụng biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến $left{ eginarraylx’ = x + a\y’ = y + bendarray ight.$Ta có: $A’left( x’;y’ ight) = T_overrightarrow v left( A ight)$ $ Rightarrow left{ eginarraylx’ = 1 + ( – 2)\y’ = – 1 + 3endarray ight.$ $ Leftrightarrow left{ eginarraylx’ = – 1\y’ = 2endarray ight.$ $ Rightarrow A’left( – 1;2 ight).$

Ví dụ 3. Trong khía cạnh phẳng tọa độ $Oxy$, cho $overrightarrow v = left( 1; – 3 ight)$ và đường thẳng $d$ có phương trình $2x – 3y + 5 = 0.$ Viết phương trình mặt đường thẳng $d’$ là ảnh của $d$ qua phép tịnh tiến $T_overrightarrow v .$

Cách 1.Lấy điểm $Mleft( x;y ight)$ tùy ý thuộc $d$, ta có: $2x – 3y + 5 = 0$ $left( * ight).$Gọi $M’left( x’;y’ ight) = T_overrightarrow v left( M ight)$ $ Rightarrow left{ eginarraylx’ = x + 1\y’ = y – 3endarray ight.$ $ Leftrightarrow left{ eginarraylx = x’ – 1\y = y’ + 3endarray ight.$Thay vào $(*)$ ta được phương trình $2left( x’ – 1 ight) – 3left( y’ + 3 ight) + 5 = 0$ $ Leftrightarrow 2x’ – 3y’ – 6 = 0.$Vậy ảnh của $d$ là đường thẳng $d’:2x – 3y – 6 = 0.$Cách 2.Do $d’ = T_overrightarrow v left( d ight)$ nên $d’$ song tuy vậy hoặc trùng với $d$, vì vậy phương trình đường thẳng $d’$ có dạng $2x – 3y + c = 0.$Lấy điểm $Mleft( – 1;1 ight) in d.$ Khi đó $M’ = T_overrightarrow v left( M ight)$ $ = left( – 1 + 1;1 – 3 ight) = left( 0; – 2 ight).$Do $M’ in d’$ $ Rightarrow 2.0 – 3.left( – 2 ight) + c = 0$ $ Leftrightarrow c = – 6.$Vậy hình ảnh của $d$ là con đường thẳng: $d’:2x – 3y – 6 = 0.$Cách 3.Lấy $Mleft( – 1;1 ight)$, $Nleft( 2;3 ight)$ thuộc $d$, ảnh của $M$, $N$ qua phép tịnh tiến $T_overrightarrow v $ tương ứng là $M’left( 0; – 2 ight)$, $N’left( 3;0 ight).$Vì $d’$ đi qua nhì điểm $M’, N’$ nên $d’$ có phương trình $fracx – 03 = fracy + 22$ $ Leftrightarrow 2x – 3y – 6 = 0.$

Ví dụ 4. Trong phương diện phẳng tọa độ $Oxy$, cho đường tròn $left( C ight)$ có phương trình $x^2 + y^2 + 2x – 4y – 4 = 0.$ Tìm ảnh của $left( C ight)$ qua phép tịnh tiến theo vectơ $overrightarrow v = left( 2; – 3 ight).$

Cách 1.Lấy điểm $Mleft( x;y ight)$ tùy ý thuộc đường tròn $left( C ight)$, ta có: $x^2 + y^2 + 2x – 4y – 4 = 0$ $left( * ight).$Gọi $M’left( x’;y’ ight) = T_overrightarrow v left( M ight)$ $ Rightarrow left{ eginarraylx’ = x + 2\y’ = y – 3endarray ight.$ $ Leftrightarrow left{ eginarraylx = x’ – 2\y = y’ + 3endarray ight.$Thay vào phương trình $(*)$ ta được: $left( x’ – 2 ight)^2 + left( y’ + 3 ight)^2$ $ + 2left( x’ – 2 ight) – 4left( y’ + 3 ight) – 4 = 0$ $ Leftrightarrow x‘^2 + y‘^2 – 2x’ + 2y’ – 7 = 0.$Vậy ảnh của $left( C ight)$ là con đường tròn $left( C’ ight)$: $x^2 + y^2 – 2x + 2y – 7 = 0.$Cách 2.Ta có: $left( C ight)$ có tâm $Ileft( – 1;2 ight)$ và cung cấp kính $r = 3.$Gọi $left( C’ ight) = T_overrightarrow v left( left( C ight) ight)$ và $I’left( x’;y’ ight)$, $r’$ là trọng tâm và nửa đường kính của $(C’).$Ta có: $left{ eginarraylx’ = – 1 + 2 = 1\y’ = 2 – 3 = – 1endarray ight.$ $ Rightarrow I’left( 1; – 1 ight)$ và $r’ = r = 3$ nên phương trình của đường tròn $left( C’ ight)$ là: $left( x – 1 ight)^2 + left( y + 1 ight)^2 = 9.$

Dạng toán 2. Khẳng định phép tịnh tiến khi biết hình ảnh và chế tạo ảnhPhương pháp: Xác định phép tịnh tiến tức là tìm tọa độ của $overrightarrowv$. Để tra cứu tọa độ của $overrightarrowv$ ta có thể giả sử $overrightarrowv=left( a;b ight)$, sử dụng các dữ khiếu nại trong trả thiết của việc để tùy chỉnh cấu hình hệ phương trình nhì ẩn $a,b$ cùng giải hệ tìm $a,b$.Ví dụ 5. Trong phương diện phẳng tọa độ $Oxy$, đến đường thẳng $d:3x+y-9=0$. Kiếm tìm phép tịnh tiến theo vectơ $overrightarrowv$ tất cả giá tuy nhiên song cùng với $Oy$ biến đổi $d$ thành $d’$ đi qua điểm $Aleft( 1;1 ight)$.

Vì $overrightarrow v $ có giá tuy nhiên song với $Oy$ nên $overrightarrow v = left( 0;k ight)$ $left( k e 0 ight).$Lấy $Mleft( x;y ight) in d$ $ Rightarrow 3x + y – 9 = 0$ $left( * ight).$Gọi $M’left( x’;y’ ight) = T_overrightarrow v left( M ight)$ $ Rightarrow left{ eginarraylx’ = x\y’ = y + kendarray ight.$Thay vào $left( * ight)$, ta được: $3x’ + y’ – k – 9 = 0.$Do đó: $T_overrightarrow v left( d ight) = d’:$ $3x + y – k – 9 = 0.$Mà: $Aleft( 1;1 ight)$ thuộc $d$, suy ra: $k = – 5.$Vậy $overrightarrow v = left( 0; – 5 ight).$

Ví dụ 6. Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho hai tuyến đường thẳng $d:2x – 3y + 3 = 0$ và $d’:2x – 3y – 5 = 0.$ Tìm tọa độ $overrightarrow v $ có phương vuông góc cùng với $d$ để $T_overrightarrow v left( d ight) = d’.$

Đặt $overrightarrow v = left( a;b ight).$Lấy điểm $Mleft( x;y ight)$ tùy ý thuộc $d$, ta có: $d:2x – 3y + 3 = 0$ $left( * ight).$Gọi $M’left( x’;y’ ight) = T_overrightarrow v left( M ight).$ Ta có $left{ eginarraylx’ = x + a\y’ = y + bendarray ight.$ $ Leftrightarrow left{ eginarraylx = x’ – a\y = y’ – bendarray ight.$, thay vào $(*)$ ta được phương trình: $2x’ – 3y’ – 2a + 3b + 3 = 0.$Từ đưa thiết suy ra $ – 2a + 3b + 3 = – 5$ $ Leftrightarrow 2a – 3b = – 8.$Vectơ pháp tuyến của đường thẳng $d$ là $overrightarrow n = left( 2; – 3 ight)$, suy ra vectơ chỉ phương của $d$ là $overrightarrow u = left( 3;2 ight).$Do $overrightarrow v ot overrightarrow u $ $ Rightarrow overrightarrow v .overrightarrow u = 3a + 2b = 0.$Ta tất cả hệ phương trình $left{ eginarrayl2a – 3b = – 8\3a + 2b = 0endarray ight.$ $ Leftrightarrow left{ eginarrayla = – frac1613\b = frac2413endarray ight.$Vậy $overrightarrow v = left( – frac1613;frac2413 ight).$

Dạng toán 3. Sử dụng phép tịnh tiến nhằm giải những bài toán dựng hìnhPhương pháp:• Để dựng một điểm $M$ ta tìm bí quyết xem nó là ảnh của một điểm đang biết sang một phép tịnh tiến, hoặc xem $M$ là giao điểm của nhì đường trong các số ấy một đường cố định và thắt chặt còn một mặt đường là hình ảnh của một đường đã biết qua phép tịnh tiến.• thực hiện kết quả: Nếu $T_overrightarrow v left( N ight) = M$ và $N in left( H ight)$ thì $M in left( H’ ight)$, trong đó $left( H’ ight) = T_overrightarrow v left( left( H ight) ight)$ và phối kết hợp với $M$ thuộc hình $left( K ight)$ (theo mang thiết) để suy ra $M in left( H’ ight) cap left( K ight).$

Ví dụ 7. Cho đường tròn tâm $O$, nửa đường kính $R$ cùng hai điểm khác nhau $C,D$ nằm ngoại trừ $left( O ight)$. Hãy dựng dây cung $AB$ của đường tròn $left( O ight)$ làm sao cho $ABCD$ là hình bình hành.

*

Phân tích: đưa sử sẽ dựng được dây cung $AB$ thỏa mãn yêu thương cầu bài xích toán.Do $ABCD$ là hình bình hành nên $overrightarrow AB = overrightarrow DC $ $ Rightarrow T_overrightarrow CD left( A ight) = B.$Nhưng $A in left( O ight)$ $ Rightarrow B in left( O’ ight) = T_overrightarrow DC left( left( O ight) ight).$ Vậy $B$ vừa trực thuộc $left( O ight)$ và $left( O’ ight)$ nên $B$ chính là giao điểm của $left( O ight)$ và $left( O’ ight).$Cách dựng:+ Dựng đường tròn $left( O’ ight)$ là hình ảnh của mặt đường tròn $left( O ight)$ qua $T_overrightarrow DC .$+ Dựng giao điểm $B$ của $left( O ight)$ và $left( O’ ight).$+ Dựng đường thẳng qua $B$ và song song với $CD$ cắt $left( O ight)$ tại $A.$Dây cung $AB$ là dây cung thỏa yêu cầu bài bác toán.Chứng minh: Từ giải pháp dựng ta có $T_overrightarrow DC left( A ight) = B$ $ Rightarrow overrightarrow AB = overrightarrow DC $ $ Rightarrow ABCD$ là hình bình hành.Nhận xét:+ nếu như $CD>2R$ thì vấn đề vô nghiệm .+ giả dụ $CD=2R$ thì bao gồm một nghiệm .+ nếu như $CDVí dụ 8. Cho tam giác $ABC$. Dựng con đường thẳng $d$ tuy nhiên song với $BC$, cắt hai cạnh $AB, AC$ theo lần lượt tại $M, N$ làm sao để cho $AM=CN$.

*

Phân tích: giả sử sẽ dựng được đường thẳng $d$ vừa lòng bài toán. Tự $M$ dựng con đường thẳng tuy vậy song với $AC$ giảm $BC$ tại $P$, khi đó $MNCP$ là hình bình hành cần $CN=PM$. Ta lại sở hữu $AM=CN$ suy ra $MP=MA$, từ kia ta bao gồm $AP$ là phân giác trong của góc $A.$Cách dựng:+ Dựng phân giác trong $AP$ của góc $A.$+ Dựng đường thẳng đi qua $P$ song song với $AC$ giảm $AB$ trên $M.$+ Dựng ảnh $N=T_overrightarrowPMleft( C ight)$.Đường thẳng $MN$ chính là đường trực tiếp thỏa yêu thương cầu bài xích toán.Chứng minh: Từ giải pháp dựng ta có $MNCP$ là hình bình hành, suy ra $MNparallel BC$ và $CN = PM$, ta có $widehat MAP m = widehat CAP = widehat APM$ $ Rightarrow Delta MAP$ cân tại $M$ $ Rightarrow AM = MP.$ Vậy $AM = CN.$Nhận xét: câu hỏi có một nghiệm hình.

Dạng toán 4. Sử dụng phép tịnh tiến để giải những bài toán tìm tập đúng theo điểmPhương pháp: Nếu $T_overrightarrowvleft( M ight)=M’$ cùng đểm $M$ di động cầm tay trên hình $left( H ight)$ thì điểm $M’$ trực thuộc hình $left( H’ ight)$, trong số ấy $left( H’ ight)$ là ảnh của hình $left( H ight)$ qua $T_overrightarrowv$.

Ví dụ 9. Cho nhì điểm phân biệt $B,C$ cố định và thắt chặt trên mặt đường tròn $left( O ight)$tâm $O$. Điểm $A$ di động cầm tay trên $left( O ight)$. Minh chứng khi $A$ cầm tay trên $left( O ight)$ thì trực tâm của tam giác $ABC$ di động cầm tay trên một mặt đường tròn.

*

Gọi $H$ là trực trọng điểm của tam giác $ABC$ với $M$ là trung điểm của $BC$. Tia $BO$ giảm đường tròn $(O)$ trên $D$.Vì $widehatBCD=90^0$, đề xuất $DCparallel AH$. Tương tự như $ADparallel CH.$Do đó $ADCH$ là hình bình hành.Suy ra $overrightarrowAH=overrightarrowDC=2overrightarrowOM$ không đổi.$Rightarrow T_2overrightarrowOMleft( A ight)=H$.Vì vậy lúc $A$ di động trên tuyến đường tròn $left( O ight)$ thì $H$ di động trên đường tròn $left( O’ ight)=T_2overrightarrowOMleft( left( O ight) ight)$.

Xem thêm: Tra Từ Dung Lượng Tiếng Anh Là Gì ? Dung Lượng Bộ Nhớ (Máy Tính) Tiếng Anh Là Gì

Ví dụ 10. Cho tam giác $ABC$ tất cả đỉnh $A$ cố kỉnh định, $widehatBAC=alpha $ không đổi cùng $overrightarrowBC=overrightarrowv$ không đổi. Kiếm tìm tập hợp những điểm $B,C$.

Gọi $O$ là chổ chính giữa đường tròn nước ngoài tiếp tam giác $ABC.$Khi kia theo định lí sin ta tất cả $fracBCsin alpha =2R$ không đổi (do $overrightarrowBC=overrightarrowv$ không đổi).Vậy $OA = R = fracBC2sin alpha $, nên $O$ di động trên tuyến đường tròn tâm $A$ bán kính $AO = fracBC2sin alpha .$Ta có $OB = OC = R$ không đổi và $widehat BOC = 2alpha $ không thay đổi suy ra $widehat OBC = widehat OCB$ $ = frac180^0 – 2alpha 2$ không đổi.Mặt khác $overrightarrow BC $ có phương không đổi nên $overrightarrow OB ,overrightarrow OC $ cũng tất cả phương ko đổi.Đặt $overrightarrow OB = overrightarrow v_1 $, $overrightarrow OC = overrightarrow v_2 $ không đổi, thì $T_overrightarrow v_1 left( O ight) = B$, $T_overrightarrow v_2 left( O ight) = C.$Vậy tập phù hợp điểm $B$ là đường tròn $left( A_1;fracBC2sin alpha ight)$ ảnh của $left( A,fracBC2sin alpha ight)$ qua $T_overrightarrow v_1 $ và tập phù hợp điểm $C$ là mặt đường tròn $left( A_2;fracBC2sin alpha ight)$ ảnh của $left( A,fracBC2sin alpha ight)$ qua $T_overrightarrow v_2 .$